三角形と比・中点連結定理
ゾウ先生DE∥BCを見たら、まず対応する辺の比をそろえて考える。中点連結定理はその特別な場合だよ。
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- △ABCの辺AB、AC上の点D、EでDE∥BCなら、AD:AB＝AE:AC＝DE:BCが成り立つ。
- 辺AB、ACの中点をそれぞれM、Nとすると、MN∥BCでMN＝1/2 BC（中点連結定理）。
- 中点連結定理は、比が1:2のときの三角形と比の性質と同じしくみでできている。
詳しく
公式
△ABCの辺AB上に点D、辺AC上に点Eがあり、DE∥BCのとき、次の比が等しくなる。
AD:AB＝AE:AC＝DE:BC
この性質を使うと、平行線でできた三角形の一部の辺の長さから、もう一方の辺の長さを求められる。
例題
例題：△ABCの辺AB、ACの中点をそれぞれM、Nとする。BC＝18cmのとき、MNの長さを求めよう。
MはABの中点、NはACの中点なので、AM:AB＝AN:AC＝1:2。
この比をDE:BCにあてはめると、MN:BC＝1:2。MN＝18×1/2＝9cmになる。これを中点連結定理という。
なぜそうなるか
三角形と比の性質は、DE∥BCなら△ADEと△ABCが相似になることから導ける。相似な図形では対応する辺の比がすべて同じになるからだ。
中点連結定理は、AD:AB＝AE:AC＝1:2の特別な場合。だから、三角形と比の性質がそのまま使え、MN＝1/2 BCになる。
この定理は、四角形の対角（新しいタブで開きます）線に中点を結ぶ問題や、長さを直接測れない場所の計算にも使われる。
確認問題
確認問題（解答用紙）
スマホやタブレットで読み取ると、この問題をその場で解けます。
https://manazoo.com/math/triangle-and-parallel-line-ratios/?from=print#quiz
△ABCで辺AB上の点D、辺AC上の点EがDE∥BCを満たし、AD＝4cm、AB＝10cm、BC＝15cmのとき、DEの長さは何cmか。数字で答えよう。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：6
DE∥BCなら、AD:AB＝DE:BCが成り立つ。4:10＝DE:15より、DE＝15×4/10＝6cm。△ABCで、辺AB、ACの中点をそれぞれM、Nとする。BC＝18cmのとき、MNの長さはどれか。
- ◯ 6cm
- ◯ 9cm
- ◯ 18cm
- ◯ 36cm
正解：9cm
中点連結定理より、MN＝1/2×BC。18÷2＝9なので、MNは9cmになる。△ABCで、辺AB、ACの中点を結んだ線分MNの長さが7cmのとき、BCの長さは何cmか。数字で答えよう。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：14
中点連結定理より、BC＝MNの2倍。7×2＝14なので、BCは14cmになる。△ABCの辺AB上の点D、辺AC上の点Eが、AD:DB＝2:3でDE∥BCのとき、DE:BCはどれか。
- ◯ 1:2
- ◯ 2:3
- ◯ 2:5
- ◯ 3:5
正解：2:5
AD:AB＝2:5なので、DE:BCも2:5になる。DB＝3なら全体AB＝2＋3＝5だから、比は2:5。中点連結定理で、DEがBCと平行になり長さが半分になるのはなぜか。
- ◯ DEが最も短い線分だから
- ◯ 三角形が直角三角形だから
- ◯ 円に内接しているから
- ◯ 中点どうしを結ぶ比が1:2で、三角形と比の性質と同じ形になるから
正解：中点どうしを結ぶ比が1:2で、三角形と比の性質と同じ形になるから
中点どうしを結ぶのは、比でいうとAD:AB＝AE:AC＝1:2の場合。三角形と比の性質にそのまま当てはまるので、DE∥BCでDE＝1/2 BCになる。
単元のポイント
- 中点連結定理 三角形の2辺の中点を結ぶと、残りの辺と平行で長さが半分になる
- 対応する辺の比 平行線を引いたときにできる、辺どうしの比
- 三角形と比の性質 DE∥BCならAD:AB＝AE:AC＝DE:BCが成り立つ