樹形図で並べ方を数える
ゾウ先生1番目を決めると、残りの枝の数がかけ算で分かるよ。
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- 樹形図（新しいタブで開きます）は、1番目・2番目…と枝分かれさせて、並べ方をもれなく数える図である。
- 1番目を決めると、2番目に使える枝の数が決まり、枝の数はかけ算で数えられる。
- 枝の数をかけ算すると、樹形図の末尾に並ぶ並び方の数と同じ答えになる。
詳しく
公式
樹形図は、1番目に何が来るかで枝を分け、その先に2番目の枝、3番目の枝と伸ばしていく図である。枝の先までたどると、1つの並べ方が決まる。
見出しを「1番目」「2番目」のように段ごとに書いておくと、どの段で何を選んでいるかが一目でわかりやすい。
1番目を決めると、2番目に使える枝の数が決まる。枝の数はかけ算で数えられ、1番目の枝の数×2番目の枝の数×…が、並べ方の数になる。
例題
例題：けん・みき・ゆうの3人でリレーをします。走る順番は何通りありますか。1番目は3人のどれかで3通り、1番目を決めると2番目は残り2人のどちらかで2通り、3番目は残った1人に決まる。枝の数は3×2×1＝6で、6通りある。
別の例題：1・2・3・4の4枚のカードから2枚を使って2けたの整数をつくります。整数は何通りできますか。1番目（十の位）は4枚のどれかで4通り、2番目（一の位）は残りの3枚のどれかで3通りだから、4×3＝12通り。
なぜそうなるか
1番目の枝の数と2番目の枝の数をかけ算で数えられるのは、1番目のどの枝を選んでも、その先に同じ数だけ2番目の枝が伸びているからである。
リレーの例では、1番目をどの人に決めても、2番目に選べる人数はいつも残り2人で変わらない。だから、枝の数をいちいち数えなくても、3×2×1のかけ算で求められる。
樹形図の最後の枝までたどると、その並びがそのまま1つの並べ方になる。枝分かれを書き終えたら、末尾の並びを数え上げて、かけ算の答えと合っているか確かめるとよい。
確認問題
確認問題（解答用紙）
スマホやタブレットで読み取ると、この問題をその場で解けます。
https://manazoo.com/math/tree-diagrams-for-arrangements/?from=print#quiz
そら・りく・はな・ゆいの4人でリレーをします。走る順番は何通りありますか。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：24
1番目は4通り、2番目は残り3通り、3番目は残り2通り、4番目は残った1人に決まるので、4×3×2×1＝24通り。1・2・3・4・5の5枚のカードから2枚を使って2けたの整数をつくります。整数は何通りできますか。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：20
十の位は5枚のどれかで5通り、一の位は残りの4枚のどれかで4通りだから、5×4＝20通り。樹形図で1番目の枝が4本、2番目の枝がそれぞれ3本のとき、並べ方は全部で何通りですか。
- ◯ 4×3×2＝24通り
- ◯ 4＋3＝7通り
- ◯ 4×3＝12通り
- ◯ 4÷3通り
正解：4×3＝12通り
1番目の枝の数×2番目の枝の数で、並べ方の数が求まる。あ・い・う・えの4人から3人を選んで1列に並べます。並べ方は何通りありますか。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：24
1番目4通り、2番目3通り、3番目2通りで、4×3×2＝24通り。
単元のポイント
- 樹形図（新しいタブで開きます） 1番目・2番目…の枝分かれで、並べ方をもれなく数える図
- 枝の数のかけ算 1番目の枝の数×2番目の枝の数…で、並べ方の数が求まること