三角形の相似条件
ゾウ先生辺の比だけでは不十分な場合がある。「間の角」まで確かめる習慣をつけよう。
30秒でつかむ
- 2つの三角形が相似とは、形が同じで大きさだけが違うこと。
- 相似条件は3つ。3組の辺の比が等しい・2組の辺の比と間の角が等しい・2組の角が等しい、のどれかを満たせば相似。
- 相似な三角形では、対応する辺の比はどこも相似比と同じになる。
詳しく
公式
2つの三角形が相似であるとは、形が同じで大きさだけが違うこと。相似な三角形には、次の3つの相似条件のどれかが当てはまる。
①3組の辺の比がすべて等しい ②2組の辺の長さの比が等しく、はさむ角の大きさも等しい ③2組の角の大きさがそれぞれ等しい
合同条件（新しいタブで開きます）と似ているが、「比が等しい」という点が違う。角がすべて等しければ、辺の長さは比例（新しいタブで開きます）しているだけでよい。
例題
例題：△ABCでAB＝8cm、AC＝6cm、∠A＝50°。△DEFでDE＝4cm、DF＝3cm、∠D＝50°のとき、2つの三角形は相似といえるか。
AB:DE＝8:4＝2:1、AC:DF＝6:3＝2:1で、辺の比が等しい。さらに、その間の角∠Aと∠Dが等しい。
対応する2組の辺の長さの比が等しく、はさむ角の大きさも等しいので、△ABC∽△DEF（相似比2:1）といえる。
なぜそうなるか
相似な図形は、1点から見た形がそのまま拡大・縮小されたもの。角の大きさがすべて等しければ、辺の比もすべて同じになる。
2組の角がわかれば3組目の角も自動的に決まる（三角形の内角の和（新しいタブで開きます）は180°）。だから「2組の角がそれぞれ等しい」だけで相似だと言えるわけだ。
辺の比だけでは図形が歪む可能性があるため、「間の角」も合わせて確かめる条件がある。
確認問題
確認問題（解答用紙）
スマホやタブレットで読み取ると、この問題をその場で解けます。
https://manazoo.com/math/similarity-conditions/?from=print#quiz
△ABCでAB＝8cm、AC＝6cm、∠A＝50°。△DEFでDE＝4cm、DF＝3cm、∠D＝50°のとき、2つの三角形が相似になる相似条件はどれか。
- ◯ 3組の辺の比がすべて等しい
- ◯ 2組の角がそれぞれ等しい
- ◯ 2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい
- ◯ 相似とはいえない
正解：2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい
AB:DE＝8:4＝2:1、AC:DF＝6:3＝2:1で辺の比が等しく、その間の角∠Aと∠Dも等しい。2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい場合にあたる。相似な△ABCと△DEFがあり、相似比は3:5。△ABCのBC＝9cmのとき、△DEFの対応する辺EFは何cmか。数字で答えよう。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：15
対応する辺の比は相似比と同じ3:5。9×5/3＝15なので、EFは15cmになる。△ABCと△DEFで、∠A＝∠D＝70°、∠B＝∠E＝55°のとき、2つの三角形が相似になる相似条件はどれか。
- ◯ 相似とはいえない
- ◯ 2組の角がそれぞれ等しい
- ◯ 3組の辺の比がすべて等しい
- ◯ 2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい
正解：2組の角がそれぞれ等しい
2組の角がそれぞれ等しければ、三角形の内角の和（新しいタブで開きます）は180°なので残りの角も等しくなり、相似が言える。相似な△PQRと△STUがあり、相似比は2:7。△STUのTU＝21cmのとき、△PQRの対応する辺QRは何cmか。数字で答えよう。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：6
対応する辺の比は相似比2:7と同じ。21×2/7＝6なので、QRは6cmになる。次のうち、三角形の相似条件として正しくないものはどれか。
- ◯ 2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい
- ◯ 2組の辺の比が等しい（間の角は見ない）
- ◯ 2組の角がそれぞれ等しい
- ◯ 3組の辺の比がすべて等しい
正解：2組の辺の比が等しい（間の角は見ない）
辺の比だけでは図形が歪む場合がある。「2組の辺の比が等しい」だけでは不十分で、その間の角まで等しいことが必要。
単元のポイント
- 相似 形が同じで大きさだけが違う図形の関係
- 相似比 相似な図形で対応する辺の長さの比
- 対応する辺 相似な図形で、同じ位置にある辺
- SAS型の相似条件 対応する2組の辺の長さの比が等しく、はさむ角の大きさも等しい
- AA型の相似条件 2組の角がそれぞれ等しい