三角関数(さんかくかんすう)のグラフ

一般角(いっぱんかく)θを横(よこ)軸(じく)に、sinθ・cos（新しいタブで開きます）θ・tanθの値(あたい)を縦(たて)軸(じく)にとると、三角関数(さんかくかんすう)のグラフが描(えが)ける。単位(たんい)円(えん)（新しいタブで開きます）上(じょう)の点(てん)は1回転(かいてん)すると元(もと)の位置(いち)に戻(もど)るので、$\mathbf{\sin(\theta+2\pi)=\sin\theta}$、$\mathbf{\cos(\theta+2\pi)=\cos\theta}$となり、どちらも周期(しゅうき)$2\pi$の波(なみ)の形(かたち)になる。

y＝sinθ、y＝cosθのグラフは、どちらも最大値(さいだいち)1・最小値(さいしょうち)−1の間(あいだ)を振(ふ)れ動(うご)く。原点(げんてん)について点(てん)対称(たいしょう)なy＝sinθは奇(き)関数(かんすう)、y軸(じく)について線対称(せんたいしょう)なy＝cosθは偶(ぐう)関数(かんすう)と呼(よ)ばれる形(かたち)をしている。

tanθは$\theta=\dfrac{\pi}{2}+n\pi$で分母(ぶんぼ)cosθが0になるため値(あたい)が定義(ていぎ)できず、そこを境(さかい)に周期(しゅうき)$\pi$でグラフが途切(とぎ)れながら繰(く)り返(かえ)す。

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式(しき)の中(なか)の係数(けいすう)を変(か)えると、グラフはどう変(か)わるだろうか。y＝2sinθは、y＝sinθの値(あたい)を2倍(ばい)しているので、振(ふ)れの大(おお)きさ（振幅(しんぷく)）が1から2に広(ひろ)がる。

y＝sin2θは、θが$\pi$進(すす)むだけで2θが$2\pi$進(すす)み、もとの1周期分(しゅうきぶん)の変化(へんか)を終(お)えるので、周期(しゅうき)が$2\pi$から$\pi$に短(みじか)くなる。

y＝$\sin\left(\theta-\dfrac{\pi}{3}\right)$は、y＝sinθのグラフをθ軸(じく)の正(せい)の方向(ほうこう)に$\dfrac{\pi}{3}$だけ平行移動(へいこういどう)した形(かたち)になる。

観覧車(かんらんしゃ)のように一定(いってい)の速(はや)さで回転(かいてん)する乗(の)り物(もの)の高(たか)さも、時間(じかん)に対(たい)して三角関数(さんかくかんすう)のグラフと同(おな)じ形(かたち)で変化(へんか)する周期(しゅうき)的(てき)な事象(じしょう)の例(れい)だ。

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なぜy＝sinθのグラフが周期(しゅうき)2πで同(おな)じ形(かたち)を繰(く)り返(かえ)すのか、単位(たんい)円(えん)の動(うご)きから確(たし)かめよう。

単位(たんい)円上(えんじょう)の点(てん)は、θが2π増(ふ)えるごとに同(おな)じ位置(いち)に戻(もど)る。そのy座標(ざひょう)がsinθの値(あたい)なので、グラフも2π進(すす)むごとに同(おな)じ高(たか)さの並(なら)びを繰(く)り返(かえ)す。

y＝sin2θでグラフが縮(ちぢ)むのは、θの増(ふ)え方(かた)が2倍(ばい)の速(はや)さでカウントされるからだ。θが$\dfrac{\pi}{2}$進(すす)むと、2θは$\pi$進(すす)んだことになり、sinの中(なか)の角(かく)が1周期分(しゅうきぶん)の半分(はんぶん)進(すす)んでしまう。

このように、角(かく)についた係数(けいすう)は横(よこ)方向(ほうこう)の伸(の)び縮(ちぢ)み、sinの前(まえ)につく係数(けいすう)は縦(たて)方向(ほうこう)の伸(の)び縮(ちぢ)みという、別々(べつべつ)の役割(やくわり)を持(も)っている。