ベクトルの意味(いみ)と演算(えんざん)

向(む)きと大(おお)きさを持(も)つ量(りょう)をベクトルといい、矢印(やじるし)の形(かたち)の有向(ゆうこう)線分(せんぶん)で表(あらわ)す。矢印(やじるし)の向(む)きと長(なが)さがベクトルを決(き)める。

有向(ゆうこう)線分(せんぶん)の位置(いち)は関係(かんけい)なく、同(おな)じ向(む)きで同(おな)じ大(おお)きさなら同(おな)じベクトルとみなす。これをベクトルの相等(そうとう)という。始点(してん)Aから終点(しゅうてん)Bへのベクトルは$\overrightarrow{AB}$と書(か)く。

大(おお)きさが0のベクトルは零(れい)ベクトル$\vec{0}$と呼(よ)ぶ。aと向(む)きが反対(はんたい)で大(おお)きさが同(おな)じベクトルは逆(ぎゃく)ベクトル$-\vec{a}$と呼(よ)ぶ。

aとbの和(わ)$\vec{a}+\vec{b}$は、aの終点(しゅうてん)にbの始点(してん)をつないでできる矢印(やじるし)だ。向(む)きはaの始点(してん)からbの終点(しゅうてん)へ進(すす)む。

差(さ)$\vec{a}-\vec{b}$は$\vec{a}+(-\vec{b})$として求(もと)める。実数(じっすう)kを掛(か)けた$k\vec{a}$は、k>0ならaと同(おな)じ向(む)き、k<0なら反対(はんたい)向(む)きになり、大(おお)きさは|k|倍(ばい)になる。

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例題(れいだい)：$|\vec{a}|=4$のとき、$3\vec{a}$と$-2\vec{a}$の大(おお)きさを求(もと)めよ。

$3\vec{a}$の大(おお)きさは、実数(じっすう)倍(ばい)の規則(きそく)どおり$|3|$を掛(か)けて$3\times4=12$になる。向(む)きはaと同(おな)じだ。

$-2\vec{a}$の大(おお)きさは$|-2|$を掛(か)けて$2\times4=8$。向(む)きはaと反対(はんたい)になる。

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ベクトルの和(わ)が「終点(しゅうてん)と始点(してん)をつなぐ」形(かたち)になる理由(りゆう)は、矢印(やじるし)を移動(いどう)として考(かんが)えるとわかる。

aを東(ひがし)に3進(すす)む移動(いどう)、bを北(きた)に2進(すす)む移動(いどう)としよう。a＋bは、東(ひがし)に3進(すす)んでから北(きた)に2進(すす)んだ移動(いどう)を1本(ほん)の矢印(やじるし)にまとめたものだ。

この移動(いどう)の順番(じゅんばん)を入(い)れかえても、着(つ)く場所(ばしょ)は変(か)わらない。だからa＋b＝b＋aが成(な)り立(た)ち、この性質(せいしつ)を交換法則(こうかんほうそく)（新しいタブで開きます）と呼(よ)ぶ。

差(さ)a−bが「bの逆(ぎゃく)ベクトルを足(た)す」になるのも同(おな)じ考(かんが)え方(かた)だ。bを打(う)ち消(け)す移動(いどう)−bを足(た)せば、引(ひ)く演算(えんざん)が足(た)す演算(えんざん)で表(あらわ)せる。