ベクトルの成分(せいぶん)と大(おお)きさ

ゾウ先生成分(せいぶん)は、矢印(やじるし)をx方向(ほうこう)とy方向(ほうこう)にどれだけ進(すす)んだかの組(くみ)だよ。大(おお)きさは直角(ちょっかく)三角形(さんかくけい)の斜辺(しゃへん)だね。

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座標(ざひょう)平面上(へいめんじょう)のベクトルは、x方向(ほうこう)・y方向(ほうこう)にどれだけ進(すす)むかの組(くみ)(a1,a2)で表(あらわ)せる。これを成分(せいぶん)表示(ひょうじ)という。
成分(せいぶん)(a1,a2)のベクトルの大(おお)きさは、三(さん)平方(へいほう)の定理(ていり)（新しいタブで開きます）で√(a1²+a2²)と求(もと)まる。
和(わ)・差(さ)・実数(じっすう)（新しいタブで開きます）倍(ばい)は成分(せいぶん)どうしで計算(けいさん)できる。a＋bは(a1＋b1,a2＋b2)、kaは(ka1,ka2)になる。

座標(ざひょう)平面上(へいめんじょう)のベクトルは、x成分(せいぶん)とy成分(せいぶん)の組(くみ)で表(あらわ)せる。これを成分(せいぶん)表示(ひょうじ)という。

原点(げんてん)Oから点(てん) $(a_1,a_2)$ へのベクトルなら $\vec{a}=(a_1,a_2)$ と書(か)く。

和(わ)は成分(せいぶん)どうしの計算(けいさん)で求(もと)められる。式(しき)は $\vec{a}+\vec{b}=(a_1+b_1,\ a_2+b_2)$ と書(か)ける。

実数(じっすう)倍(ばい)も同(おな)じように成分(せいぶん)ごとに計算(けいさん)すればよい。 $k\vec{a}=(ka_1,\ ka_2)$ になる。

大(おお)きさは三(さん)平方(へいほう)の定理(ていり)から求(もと)められる。公式(こうしき)は $|\vec{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2}$ で表(あらわ)す。

例題(れいだい)： $\vec{a}=(9,12)$ の大(おお)きさを求(もと)めよ。

成分(せいぶん)の大(おお)きさの公式(こうしき)に当(あ)てはめる。 $|\vec{a}|=\sqrt{9^2+12^2}$ になる。

$\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15$ なので、求(もと)める大(おお)きさは15になる。

大(おお)きさの公式(こうしき) $\sqrt{a_1^2+a_2^2}$ は、座標(ざひょう)平面(へいめん)の直角(ちょっかく)三角形(さんかくけい)から分(わ)（新しいタブで開きます）かる。

原点(げんてん)から点(てん) $(a_1,a_2)$ への矢印(やじるし)を、x方向(ほうこう)とy方向(ほうこう)の2つの移動(いどう)に分(わ)けて考(かんが)えよう。

この2つの移動(いどう)を直角(ちょっかく)三角形(さんかくけい)の2辺(へん)と見(み)れば、矢印(やじるし)の長(なが)さは斜辺(しゃへん)（新しいタブで開きます）の長(なが)さと同(おな)じになる。

三(さん)平方(へいほう)の定理(ていり)を使(つか)えば、斜辺(しゃへん)の長(なが)さは $\sqrt{a_1^2+a_2^2}$ と表(あらわ)せる。

成分(せいぶん)の和(わ)がそのまま和(わ)になるのも、x方向(ほうこう)とy方向(ほうこう)の移動(いどう)をそれぞれ足(た)しているだけだからだ。

スマホやタブレットで読み取ると、この問題をその場で解けます。

https://manazoo.com/math/vector-components-and-magnitude/?from=print#quiz

ベクトルa＝(9,12)の大(おお)きさを求(もと)めよ。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：15
大(おお)きさの公式(こうしき)|a|＝√(a1²＋a2²)に当(あ)てはめる。√(9²＋12²)＝√(81＋144)＝√225＝15。
ベクトルa＝(−8,15)の大(おお)きさを求(もと)めよ。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：17
成分(せいぶん)が負(ふ)でも2乗(じょう)すれば正(せい)になる。√((−8)²＋15²)＝√(64＋225)＝√289＝17。
a＝(2,−1)、b＝(−3,4)のとき、2a−bのx成分(せいぶん)を求(もと)めよ。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：7
x成分(せいぶん)だけを計算(けいさん)する。2aのx成分(せいぶん)は2×2＝4、bのx成分(せいぶん)は−3なので、4−(−3)＝7。
ベクトルa＝(a1,a2)の実数(じっすう)倍(ばい)kaの成分(せいぶん)を表(あらわ)す式(しき)はどれか。
- ◯　(a1,ka2)
- ◯　(ka1,ka2)
- ◯　(a1+k,a2+k)
- ◯　(ka1,a2)
正解：(ka1,ka2)
実数(じっすう)（新しいタブで開きます）倍(ばい)は成分(せいぶん)のどちらにもkを掛(か)ける。(ka1,ka2)が正(ただ)しく、片方(かたほう)だけに掛(か)けたり、足(た)したりはしない。