角の二等分線と線分の比
ゾウ先生内角の二等分線はBD:DC＝AB:ACで内分、外角の二等分線は同じ比で外分になるよ。
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- 三角形の内角の二等分線は、向かいの辺をAB:ACの比に内分する。BD:DC＝AB:ACが成り立つ。
- 外角の二等分線は、向かいの辺の延長をAB:ACの比に外分する。BE:EC＝AB:ACが成り立つ（AB≠ACのとき）。
- 内分は線分の内側の点、外分は線分の延長上の点。どちらも隣り合う2辺の比と同じ比になる。
詳しく
公式
中学校では三角形の相似条件（新しいタブで開きます）を学んだ。ここでは、角の二等分線が向かいの辺をどんな比に分けるかを調べる。
線分BC上の点Dが、BD:DCの比にBCを分けるとき、DはBCを内分するという。線分BCの延長上の点Eが同じ形の比にBCを分けるとき、EはBCを外分するという。
三角形ABCで角Aの二等分線が辺BCと交わる点をDとすると、が成り立つ（Dは辺BCを内分する）。
のとき、角Aの外角の二等分線は直線BCと点Eで交わる（Eは辺BCの延長上にあり、BCを外分する）。このときが成り立つ。
例題
例題：AB＝8cm、AC＝4cm、BC＝9cmの三角形ABCで、角Aの二等分線と辺BCの交点をDとする。BD、DCの長さを求めよう。
。BD＋DC＝9なので、。計算するとになる。同様にになる。
同じ三角形で、角Aの外角の二等分線と直線BCの交点をEとすると、（外分）。この比から求めるとになる。残りはになる。
なぜそうなるか
内角の二等分線の比は、面積を使って確かめられる。三角形ABDとACDは、頂点Aから底辺BCへの高さが共通だ。だから、面積比は底辺の比BD:DCに等しい。
三角形ABDの面積はだ。三角形ACDの面積はだ。角BAD＝角CADよりの値が等しいので、面積比はAB:ACにも等しいと言える。
同じ2つの三角形の面積比を2通りの方法で表しているので、BD:DC＝AB:ACが成り立つとわかる。
外角の二等分線でも同じ発想が使え、外分される線分の比もAB:ACだ。この定理の逆も成り立ち、BD:DC＝AB:ACとなる点Dをとれば、ADは角Aを二等分する。
確認問題
確認問題（解答用紙）
スマホやタブレットで読み取ると、この問題をその場で解けます。
https://manazoo.com/math/angle-bisector-ratio/?from=print#quiz
AB＝5cm、AC＝10cm、BC＝12cmの三角形ABCで、角Aの二等分線と辺BCの交点をDとする。BDの長さを求めよ。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：4
BD:DC＝AB:AC＝5:10＝1:2。BD＋DC＝12なので、BD＝12×1/3＝4cm。AB＝5cm、AC＝10cm、BC＝12cmの三角形ABCで、角Aの二等分線と辺BCの交点をDとする。DCの長さを求めよ。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：8
BD:DC＝AB:AC＝5:10＝1:2。BD＋DC＝12なので、DC＝12×2/3＝8cm。AB＝9cm、AC＝3cm、BC＝10cmの三角形ABCで、角Aの外角の二等分線と直線BCの交点をEとする（Eは辺BCの延長上にある）。ECの長さを求めよ。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：5
BE:EC＝AB:AC＝9:3＝3:1（外分）。BE−EC＝BC＝10なので、EC×(3−1)＝10、EC＝10÷2＝5cm。三角形ABCでAB:AC＝5:3のとき、角Aの内角の二等分線が辺BCを分ける比BD:DCはどれか。
- ◯ 1:1
- ◯ 3:5
- ◯ 5:3
- ◯ 8:1
正解：5:3
角の二等分線の定理よりBD:DC＝AB:AC＝5:3になる。
単元のポイント
- 内分点 線分の内側にあり、2つの部分の比を作る点
- 外分点 線分の延長上にあり、2つの部分の比を作る点
- 角の二等分線の定理 三角形の内角の二等分線が、向かいの辺をとなり合う2辺の比に分けること
- 外角の二等分線 1つの内角ととなり合う外角を2等分する直線