三角形の辺と角の大小
ゾウ先生長い辺の向かいには、いつも大きい角がある。棒3本で三角形ができるかも、同じ考え方で確かめられるよ。
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- 三角形では、辺が長いほど向かいの角（対角）が大きい。角が大きいほど向かいの辺も長い。
- 3辺a、b、cで三角形ができる条件は、どの2辺の和も残りの1辺より大きいこと。|b−c|＜a＜b＋cとも書ける。
- 3辺のうちいちばん長い辺が、残り2辺の和より短いかどうかだけ確かめれば、三角形ができるか判定できる（短い2辺の組は自動的に条件を満たす）。
詳しく
公式
中学校では三角形の合同（新しいタブで開きます）条件や相似条件（新しいタブで開きます）を学んだ。ここからは、三角形の辺の長さと角の大きさがどう対応するかを見ていこう。
1つの三角形の中では、辺が長いほど、その辺の向かい側にある角（対角）が大きい。逆に、角が大きいほど向かいの辺も長くなる。
3辺の長さがa、b、cのとき、三角形ができる条件はどの2辺の和も残りの1辺より大きいこと。たとえばaについてはとも書ける。
例題
例題：3辺の長さが5cm、6cm、9cmの棒で三角形は作れるか。作れるとき、最も大きい角はどの辺の向かいにあるか。
3辺の和の条件を確かめる。5＋6＝11＞9、5＋9＝14＞6、6＋9＝15＞5。どの2辺の和も残りの1辺より大きいので、三角形は作れる。
辺の長さは9cm＞6cm＞5cmの順になっている。辺と角の対応から、最も大きい角は、最も長い辺9cmの向かいにある角だとわかる。
なぜそうなるか
三角形の成立条件は、2点を結ぶ最短の経路の考え方から説明できる。2辺の和が表す経路は、残りの1辺を直線で結ぶ経路より必ず長い。
辺と角の対応は、次のように確かめられる。三角形ABCで辺ACが辺ABより長いとき、辺AC上にAD＝ABとなる点Dをとる。
三角形ABDは二等辺三角形（新しいタブで開きます）になるので角ABD＝角ADBが成り立つ。角ADBは三角形DBCの外角なので、角ADBは角Cより大きい。
一方、角ABCは角ABDより大きい。まとめると角ABC＞角ADB＞角Cとなり、長い辺ACの向かいにある角Bのほうが、短い辺ABの向かいにある角Cより大きい。
この関係は逆向きにも成り立ち、角が大きいほど向かいの辺も長くなる。辺の順と角の順は、つねに同じ向きにそろう。
確認問題
確認問題（解答用紙）
スマホやタブレットで読み取ると、この問題をその場で解けます。
https://manazoo.com/math/triangle-side-angle-inequality/?from=print#quiz
長さ4cm、5cm、10cmの3本の棒で、三角形は作れるか。
- ◯ 作れる
- ◯ 作れない
正解：作れない
4＋5＝9は10より小さく、どの2辺の和も残りの1辺より大きいという条件を満たさない。だから三角形は作れない。2辺の長さが7cmと10cmの三角形で、3つ目の辺の長さxが整数になるとき、xの最大の値を求めよ。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：16
|10−7|＜x＜10＋7より3＜x＜17。この範囲の整数で最大の値は16。3辺が9cm、12cm、xcmの三角形ができるとき、xのとりうる範囲はどれか。
- ◯ 0＜x＜21
- ◯ 3＜x＜12
- ◯ 3＜x＜21
- ◯ 9＜x＜12
正解：3＜x＜21
|12−9|＝3、9＋12＝21より、3＜x＜21になる。三角形ABCの3辺がBC＝a、CA＝b、AB＝cで、a＜b＜cのとき、最も大きい角はどれか。
- ◯ ∠A
- ◯ 辺の長さだけでは決まらない
- ◯ ∠B
- ◯ ∠C
正解：∠C
最も長い辺cの向かいにあるのは∠C。辺が長いほど対角が大きいので、∠Cが最も大きい角になる。
単元のポイント
- 対辺 ある角の向かい側にある辺
- 対角 ある辺の向かい側にある角
- 三角形の成立条件 3辺のうち、どの2辺の和も残りの1辺より大きいこと
- 三角不等式 2辺の和が残りの1辺より大きいという、三角形の成立条件を表す不等式