三角形(さんかくけい)の重心(じゅうしん)・内心(ないしん)・外心(がいしん)

中学校(ちゅうがっこう)では三角形(さんかくけい)の合同(ごうどう)（新しいタブで開きます）条件(じょうけん)や相似(そうじ)条件(じょうけん)（新しいタブで開きます）を学(まな)んだ。ここでは、三角形(さんかくけい)の内部(ないぶ)にある特別(とくべつ)な点(てん)の性質(せいしつ)を調(しら)べる。

頂点(ちょうてん)とその向(む)かいの辺(へん)の中点(ちゅうてん)を結(むす)ぶ線分(せんぶん)を中線(ちゅうせん)という。三角形(さんかくけい)の3本(ほん)の中線(ちゅうせん)は1点(てん)で交(まじ)わり、その点(てん)を重心(じゅうしん)という。重心(じゅうしん)は、頂点(ちょうてん)から中線(ちゅうせん)を2:1の比(ひ)に分(わ)ける。

三角形(さんかくけい)の3つの内角(ないかく)の二等分線(にとうぶんせん)は1点(てん)で交(まじ)わり、その点(てん)を内心(ないしん)という。内心(ないしん)は3辺(へん)から等(ひと)しい距離(きょり)にあり、3辺(へん)に接(せっ)する円(えん)（内接(ないせつ)円(えん)）の中心(ちゅうしん)になる。

三角形(さんかくけい)の3辺(へん)の垂直二等分線(すいちょくにとうぶんせん)は1点(てん)で交(まじ)わり、その点(てん)を外心(がいしん)という。外心(がいしん)は3頂点(ちょうてん)から等(ひと)しい距離(きょり)にあり、3頂点(ちょうてん)を通(とお)る円(えん)（外接(がいせつ)円(えん)）の中心(ちゅうしん)になる。外接(がいせつ)円(えん)の半径(はんけい)（新しいタブで開きます）を正弦(せいげん)定理(ていり)で求(もと)める計算(けいさん)は数学(すうがく)Ⅰですでに学(まな)んだ。

3頂点(ちょうてん)から向(む)かいの辺(へん)へ下(お)ろした垂線(すいせん)も1点(てん)で交(まじ)わり、その点(てん)を垂心(すいしん)という。

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例題(れいだい)：A(3, 6)、B(0, 0)、C(9, 0)を頂点(ちょうてん)とする三角形(さんかくけい)の重心(じゅうしん)Gの座標(ざひょう)を求(もと)めよう。

重心(じゅうしん)の座標(ざひょう)は、3頂点(ちょうてん)の座標(ざひょう)の平均(へいきん)になる。x座標(ざひょう)は$(3+0+9)\div 3 = 4$、y座標(ざひょう)は$(6+0+0)\div 3 = 2$。よって$\mathbf{G(4, 2)}$。

頂点(ちょうてん)Aから辺(へん)BCの中点(ちゅうてん)M(4.5, 0)への中線(ちゅうせん)を考(かんが)えると、座標(ざひょう)からもAG:GM＝2:1になっていることが確(たし)かめられる。

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重心(じゅうしん)が中線(ちゅうせん)を2:1に分(わ)けることは、面積(めんせき)を使(つか)って確(たし)かめられる。1本(ほん)の中線(ちゅうせん)は、底辺(ていへん)と高(たか)さが共通(きょうつう)な面積(めんせき)の等(ひと)しい2つの三角形(さんかくけい)に、三角形(さんかくけい)を分(わ)ける性質(せいしつ)が出発(しゅっぱつ)点(てん)だ。

3本(ほん)の中線(ちゅうせん)で三角形(さんかくけい)を6つの小(ちい)さな三角形(さんかくけい)に分(わ)けると、どれも面積(めんせき)が等(ひと)しくなる。この関係(かんけい)から導(みちび)けるのは、重心(じゅうしん)が各(かく)中線(ちゅうせん)を頂点(ちょうてん)側(がわ)から2:1に分(わ)けるという結論(けつろん)だ。

内心(ないしん)が3辺(へん)から等(ひと)しい距離(きょり)にある理由(りゆう)は、角(かく)の二等分線(にとうぶんせん)の性質(せいしつ)から説明(せつめい)できる。角(かく)の二等分線(にとうぶんせん)上(うえ)の点(てん)は、その角(かく)を作(つく)る2辺(へん)から等(ひと)しい距離(きょり)にある。

3つの内角(ないかく)の二等分線(にとうぶんせん)の交点(こうてん)（内心(ないしん)）は、どの2辺(へん)からも等(ひと)しい距離(きょり)にあるので、結局(けっきょく)3辺(へん)すべてから等(ひと)しい距離(きょり)だ。

外心(がいしん)も同(おな)じ発想(はっそう)で説明(せつめい)できる。垂直二等分線上(すいちょくにとうぶんせんじょう)の点(てん)はその両端(りょうたん)から等(ひと)しい距離(きょり)にあるので、3辺(へん)の垂直二等分線(すいちょくにとうぶんせん)の交点(こうてん)は3頂点(ちょうてん)すべてから等(ひと)しい距離(きょり)になる。