チェバの定理(ていり)

中学校(ちゅうがっこう)では三角形(さんかくけい)の相似(そうじ)条件(じょうけん)（新しいタブで開きます）を学(まな)んだ。ここでは、三角形(さんかくけい)の内部(ないぶ)の1点(てん)に向(む)かって3頂点(ちょうてん)から引(ひ)いた3直線(ちょくせん)が満(み)たす比(ひ)の関係(かんけい)を調(しら)べる。

三角形(さんかくけい)ABCの辺(へん)BC、CA、AB上(じょう)にそれぞれ点(てん)P、Q、Rがあり、3直線(ちょくせん)AP、BQ、CRが1点(てん)で交(まじ)わるとする。このとき$\mathbf{\dfrac{BP}{PC}\cdot\dfrac{CQ}{QA}\cdot\dfrac{AR}{RB}=1}$が成(な)り立(た)つ（チェバの定理(ていり)）。

この定理(ていり)の逆(ぎゃく)も成(な)り立(た)つ。P、Q、RがそれぞれBC、CA、AB上(じょう)の点(てん)で、上(うえ)の積(せき)が1になれば、AP、BQ、CRは1点(てん)で交(まじ)わる。

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例題(れいだい)：三角形(さんかくけい)ABCの辺上(へんじょう)に点(てん)P、Q、Rがあり、BP:PC＝2:3、CQ:QA＝3:4とする。AP、BQ、CRが1点(てん)で交(まじ)わるとき、チェバの定理(ていり)を使(つか)ってAR:RBを求(もと)めよう。

$\dfrac{BP}{PC}\cdot\dfrac{CQ}{QA}\cdot\dfrac{AR}{RB}=1$。$\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{AR}{RB}=1$が成(な)り立(た)つ。よって$\dfrac{AR}{RB}=2$なので、$\mathbf{AR:RB=2:1}$になる。

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チェバの定理(ていり)は面積(めんせき)比(ひ)を使(つか)って証明(しょうめい)できる。3直線(ちょくせん)が交(まじ)わる点(てん)をOとする。三角形(さんかくけい)ABPと三角形(さんかくけい)ACPは頂点(ちょうてん)Aを共有(きょうゆう)し、底辺(ていへん)BP、PCが同(どう)一直線上(いっちょくせんじょう)にある。だから面積(めんせき)比(ひ)はBP:PCに等(ひと)しい。

三角形(さんかくけい)OBPと三角形(さんかくけい)OCPも同(おな)じ理由(りゆう)で面積(めんせき)比(ひ)がBP:PCに等(ひと)しい。比(ひ)の性質(せいしつ)（a:b＝c:dならa:b＝(a−c):(b−d)）を使(つか)うと、次(つぎ)の式(しき)が成(な)り立(た)つ。$\dfrac{BP}{PC}=\dfrac{[ABP]-[OBP]}{[ACP]-[OCP]}=\dfrac{[ABO]}{[ACO]}$。

同(おな)じ考(かんが)え方(かた)で$\dfrac{CQ}{QA}=\dfrac{[BCO]}{[BAO]}$になる。$\dfrac{AR}{RB}=\dfrac{[CAO]}{[CBO]}$も同様(どうよう)になる。3つの式(しき)をかけ合(あ)わせると、分母(ぶんぼ)と分子(ぶんし)が同(おな)じ面積(めんせき)の組(くみ)になって打(う)ち消(け)し合(あ)い、積(せき)は1になる。

この定理(ていり)は逆(ぎゃく)も成(な)り立(た)つので、比(ひ)の積(せき)が1になれば3直線(ちょくせん)が1点(てん)で交(まじ)わるというのが結論(けつろん)だ。3本(ほん)の中線(ちゅうせん)はどれも辺(へん)を1:1に分(わ)けるので積(せき)は1×1×1＝1になり、中線(ちゅうせん)が1点(てん)（重心(じゅうしん)）で交(まじ)わることもこれで確(たし)かめられる。