メネラウスの定理(ていり)

中学校(ちゅうがっこう)では平行(へいこう)線(せん)と角(かく)（新しいタブで開きます）の性質(せいしつ)や三角形(さんかくけい)の相似(そうじ)（新しいタブで開きます）を学(まな)んだ。ここでは、三角形(さんかくけい)のどの頂点(ちょうてん)も通(とお)らない1本(ほん)の直線(ちょくせん)が作(つく)る比(ひ)の関係(かんけい)を調(しら)べる。

三角形(さんかくけい)ABCがあり、1本(ほん)の直線(ちょくせん)が辺(へん)BC、辺(へん)CAの延長(えんちょう)、辺(へん)ABとそれぞれ点(てん)P、Q、Rで交(まじ)わるとする。この直線(ちょくせん)はどの頂点(ちょうてん)も通(とお)らない。このとき$\mathbf{\dfrac{BP}{PC}\cdot\dfrac{CQ}{QA}\cdot\dfrac{AR}{RB}=1}$が成(な)り立(た)つ（メネラウスの定理(ていり)）。

この直線(ちょくせん)は、三角形(さんかくけい)の2辺(へん)を通(とお)り残(のこ)り1辺(へん)の延長(えんちょう)を通(とお)る場合(ばあい)と、3辺(へん)すべての延長(えんちょう)を通(とお)る場合(ばあい)がある。どちらでも比(ひ)の積(せき)は1になる。

この定理(ていり)の逆(ぎゃく)も成(な)り立(た)つ。P、Q、RがそれぞれBC、CA、AB（またはその延長(えんちょう)）上(じょう)の点(てん)で、上(うえ)の積(せき)が1になれば、P、Q、Rは一直線上(いっちょくせんじょう)に並(なら)ぶ。

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例題(れいだい)：三角形(さんかくけい)ABCで、1本(ほん)の直線(ちょくせん)が辺(へん)BC上(うえ)の点(てん)P、辺(へん)AB上(うえ)の点(てん)R、辺(へん)CAの延長上(えんちょうじょう)の点(てん)Qを通(とお)るとする。BP:PC＝2:1、CQ:QA＝3:1のとき、メネラウスの定理(ていり)を使(つか)ってAR:RBを求(もと)めよう。

$\dfrac{BP}{PC}\cdot\dfrac{CQ}{QA}\cdot\dfrac{AR}{RB}=1$。$\dfrac{2}{1}\cdot\dfrac{3}{1}\cdot\dfrac{AR}{RB}=1$が成(な)り立(た)つ。よって$\dfrac{AR}{RB}=\dfrac{1}{6}$になる。つまり$\mathbf{AR:RB=1:6}$になる。

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メネラウスの定理(ていり)は、三角形(さんかくけい)の頂点(ちょうてん)の1つを通(とお)り、直線(ちょくせん)PQRに平行(へいこう)な線(せん)を引(ひ)くと証明(しょうめい)できる。頂点(ちょうてん)Bを通(とお)りPQRに平行(へいこう)な線(せん)を引(ひ)き、辺(へん)CAとの交点(こうてん)をSとする。

平行(へいこう)線(せん)によって、BP:PCとCQ:QAを、どちらもCS、SAを使(つか)った比(ひ)に書(か)きかえられる。平行(へいこう)線(せん)と線分(せんぶん)の比(ひ)（新しいタブで開きます）の関係(かんけい)を、三角形(さんかくけい)BPQと三角形(さんかくけい)ARBのそれぞれで使(つか)う。

書(か)きかえた2つの比(ひ)とAR:RBをかけ合(あ)わせると、CSとSAが分母(ぶんぼ)と分子(ぶんし)で打(う)ち消(け)し合(あ)い、積(せき)は1になる。

どの頂点(ちょうてん)を通(とお)る平行(へいこう)線(せん)を引(ひ)くか、どの直線(ちょくせん)に注目(ちゅうもく)するかで見通(みとお)しが変(か)わる。問題(もんだい)を解(と)くときは、どの三角形(さんかくけい)とどの直線(ちょくせん)にメネラウスの定理(ていり)を当(あ)てはめるかを最初(さいしょ)に見(み)つけることが大切(たいせつ)だ。