合成関数と逆関数
ゾウ先生逆関数を求めるときは、y＝f(x)をxについて解いてから、xとyを入れかえよう。グラフがy＝xに関して対称になることを図でも確認しておくとミスが減るよ。
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- 2つの関数f、gについて、xにfを施したf(x)にさらにgを施したg(f(x))を**合成関数（新しいタブで開きます）**といい、g∘fと書く。(g∘f)(x)＝g(f(x))。
- 関数fが1対1の対応であるとき、y＝f(x)をxについて解き、xとyを入れかえた式が**逆関数**f⁻¹(x)。f⁻¹の定義域はfの値域、f⁻¹の値域はfの定義域になる。
- y＝f(x)とy＝f⁻¹(x)のグラフは、直線y＝xに関して対称。fのグラフ上の点(a,b)があれば、f⁻¹のグラフ上には点(b,a)がある。
詳しく
公式
2つの関数f、gがあるとき、xにfを施したf(x)に、さらにgを施したg(f(x))を対応させる関数を合成関数といい、と書く。f(x)＝x＋2のとき、y＝1／uにu＝x＋2を代入すればy＝1／(x＋2)が求まる、という考え方が合成の例だ。
関数y＝f(x)が1対1の対応であるとき、yの値域を定義域として、yからxへの対応を考えることができる。y＝f(x)をxについて解いてからxとyを入れかえた式が逆関数。
f⁻¹の定義域はfの値域、f⁻¹の値域はfの定義域になる。また、f(a)＝bならばf⁻¹(b)＝aが成り立つ。
例題
例題：f(x)＝2x＋1、g(x)＝x²のとき、(g∘f)(2)の値を求めよ。
まずf(2)＝2×2＋1＝5を求める。次にこの値をgに入れて、g(5)＝5²＝25。よって、(g∘f)(2)＝g(f(2))＝25になる。
次に、f(x)＝2x＋1の逆関数を求めよう。y＝2x＋1をxについて解くと。xとyを入れかえると、f⁻¹(x)＝(x−1)／2になる。
なぜそうなるか
逆関数のグラフがなぜ直線y＝xに関して対称になるのかを確かめよう。f(x)＝2x＋1上の点(1,3)を考える。f⁻¹(x)＝(x−1)／2に対応する点は、xとyを入れかえた(3,1)になる。
点(1,3)と点(3,1)は、x座標とy座標がちょうど入れかわった関係なので、直線y＝xに関して線対称な位置だ。fのグラフ上のどの点でも同じことが成り立つので、y＝f(x)とy＝f⁻¹(x)のグラフ全体が直線y＝xに関して対称になる。
下の図のように、f(x)＝2x＋1（オレンジ）とf⁻¹(x)＝(x−1)／2（青）のグラフを直線y＝x（点線）と一緒にかくと、2つの曲線が点線を折り目にして重なる位置関係になっていることが確かめられる。
確認問題
確認問題（解答用紙）
スマホやタブレットで読み取ると、この問題をその場で解けます。
https://manazoo.com/math/composite-and-inverse-functions/?from=print#quiz
f(x)＝2x＋1、g(x)＝x² のとき、(g∘f)(2)の値を求めよ。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：25
f(2)＝2×2＋1＝5。これをgに入れてg(5)＝5²＝25。f(x)＝3x−2 の逆関数f⁻¹(x)について、f⁻¹(4)の値を求めよ。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：2
y＝3x−2をxについて解くとx＝(y＋2)／3なので、f⁻¹(x)＝(x＋2)／3。f⁻¹(4)＝(4＋2)／3＝2。f(x)＝2x＋1 の逆関数はどれか。
- ◯ (x＋1)／2
- ◯ (x−1)×2
- ◯ 2x−1
- ◯ (x−1)／2
正解：(x−1)／2
y＝2x＋1をxについて解くとx＝(y−1)／2。xとyを入れかえるとf⁻¹(x)＝(x−1)／2になる。y＝f(x)とy＝f⁻¹(x)のグラフの関係として正しいものはどれか。
- ◯ 直線y＝xに関して対称
- ◯ 原点に関して対称
- ◯ 平行になる
- ◯ x軸に関して対称
正解：直線y＝xに関して対称
逆関数はxとyを入れかえてつくるので、もとの関数のグラフと直線y＝xに関して対称になる。
単元のポイント
- 合成関数g∘f (g∘f)(x)＝g(f(x))。xにfを施した値にgを施す
- 逆関数f⁻¹ y＝f(x)をxについて解き、xとyを入れかえた関数
- y＝xに関して対称 fとf⁻¹のグラフの関係