分数(ぶんすう)関数(かんすう)と無理(むり)関数(かんすう)

分母(ぶんぼ)が一次(いちじ)式(しき)の分数(ぶんすう)関数(かんすう)$y=\frac{k}{x-p}+q$（k≠0）のグラフは、$y=\frac{k}{x}$のグラフをx軸(じく)方向(ほうこう)にp、y軸(じく)方向(ほうこう)にqだけ平行移動(へいこういどう)した双曲線(そうきょくせん)で、2直線(ちょくせん)x＝p、y＝qを漸近線(ぜんきんせん)とする。定義域(ていぎいき)はx≠p、値域(ちいき)はy≠q。

$y=\frac{ax+b}{cx+d}$の形(かたち)の式(しき)は、分子(ぶんし)を分母(ぶんぼ)で割(わ)り算(ざん)すると$\frac{k}{x-p}+q$の形(かたち)に直(なお)せる。

無理(むり)関数(かんすう)y＝√(ax＋b)（a≠0）のグラフは、根号(こんごう)の中(なか)のax＋bが0以上(いじょう)になるxの範囲(はんい)だけで定義(ていぎ)される。たとえばy＝√(x＋1)は、x＝y²−1（y≧0）という放物線(ほうぶつせん)のy≧0の部分(ぶぶん)と同(おな)じグラフになる。

例題(れいだい)：分数(ぶんすう)関数(かんすう)$y=\frac{2x+1}{x-3}$の漸近線(ぜんきんせん)を求(もと)めよ。

2x＋1を(x−3)で割(わ)り算(ざん)すると、$2x+1=2(x-3)+7$なので、$y=\frac{2x+1}{x-3}=2+\frac{7}{x-3}$と変形(へんけい)できる。

この形(かたち)はk＝7、p＝3、q＝2の$\frac{k}{x-p}+q$なので、漸近線(ぜんきんせん)はx＝3、y＝2になる。x＝10で実際(じっさい)に計算(けいさん)しても約(やく)2.07で、y＝2に近(ちか)い値(あたい)になる。

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無理(むり)関数(かんすう)y＝√(x＋1)がなぜ放物線(ほうぶつせん)x＝y²−1の一部(いちぶ)になるのかを確(たし)かめよう。y＝√(x＋1)の両辺(りょうへん)を2乗(じょう)すると、y²＝x＋1、つまりx＝y²−1になる。

ただし、根号(こんごう)は0以上(いじょう)の値(あたい)しかとらないので、もとの式(しき)ではつねにy≧0。そこで、頂点(ちょうてん)(−1,0)で右(みぎ)に開(ひら)く放物線(ほうぶつせん)x＝y²−1のうち、y≧0の部分(ぶぶん)だけがy＝√(x＋1)のグラフになる。

下(した)の図(ず)の点線(てんせん)は放物線(ほうぶつせん)x＝y²−1の全体(ぜんたい)を、実線(じっせん)はそのうちy≧0の部分(ぶぶん)（＝y＝√(x＋1)のグラフ）を表(あらわ)している。定義域(ていぎいき)はx＋1≧0からx≧−1で、出発(しゅっぱつ)点(てん)は(−1,0)だ。

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