関数(かんすう)の極限(きょくげん)

変数(へんすう)xがaと異(こと)なる値(あたい)をとりながらaに限(かぎ)りなく近(ちか)づくとき、f(x)がLという値(あたい)に限(かぎ)りなく近(ちか)づくならば、xがaに近(ちか)づくときのf(x)の極限(きょくげん)はLであるといい、$\lim_{x \to a}f(x)=L$と書(か)く。xを限(かぎ)りなく大(おお)きくする、または限(かぎ)りなく小(ちい)さくするときの極限(きょくげん)も同(おな)じように考(かんが)える。

f(a)にそのまま代入(だいにゅう)すると$\frac{0}{0}$の形(かたち)になる極限(きょくげん)は、分子(ぶんし)・分母(ぶんぼ)を因数分解(いんすうぶんかい)して共通(きょうつう)な因数(いんすう)で約分(やくぶん)すると、x＝aを代入(だいにゅう)できる形(かたち)になる。

弧(こ)度(ど)法(ほう)で表(あらわ)した角(かく)θについて、$\mathbf{\lim_{\theta \to 0}\frac{\sin\theta}{\theta}=1}$が成(な)り立(た)つ。θが0に十分(じゅうぶん)近(ちか)いとき、sinθの値(あたい)とθの値(あたい)はほぼ等(ひと)しい、ということを表(あらわ)している。

例題(れいだい)：$\displaystyle\lim_{x \to 3}\frac{x^2-9}{x-3}$を求(もと)めよ。

x＝3を直接(ちょくせつ)代入(だいにゅう)すると0／0の形(かたち)になってしまう。そこで分子(ぶんし)をx²−9＝(x−3)(x＋3)と因数分解(いんすうぶんかい)する。

$\displaystyle\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}$で、x≠3の範囲(はんい)では(x−3)が約分(やくぶん)できるので、この式(しき)はx＋3に等(ひと)しい。x＋3にx＝3を代入(だいにゅう)すると、求(もと)める極限(きょくげん)は6になる。

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sinθ／θがなぜθ→0で1に近(ちか)づくのかを、具体(ぐたい)的(てき)な数(かず)で確(たし)かめよう。θ＝0.5、0.1、0.01のときsinθ／θの値(あたい)を計算(けいさん)すると、0.9589、0.9983、1.0000と、どんどん1に近(ちか)づいていく。

下(した)の図(ず)のグラフでも、y＝sinθ／θの曲線(きょくせん)はθ＝0付近(ふきん)で高(たか)さ1の破線(はせん)にほとんど重(かさ)なるように近(ちか)づいている。これはθが0に十分(じゅうぶん)近(ちか)いとき、sinθの値(あたい)とθの値(あたい)がほぼ等(ひと)しいことを表(あらわ)している。

lim(x→3) (x²−9)／(x−3)＝6という例題(れいだい)も、x＝3では約分(やくぶん)前(まえ)の分数(ぶんすう)は定義(ていぎ)されない（分母(ぶんぼ)が0になる）が、x≠3では常(つね)にx＋3と等(ひと)しいという性質(せいしつ)を使(つか)っている。極限(きょくげん)はx＝3そのものの値(あたい)ではなく、x＝3に近(ちか)づいたときの値(あたい)を考(かんが)えている点(てん)に注意(ちゅうい)しよう。

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