微分可能性と積・商の導関数
ゾウ先生積の導関数は「前を微分して後ろそのまま＋前そのまま後ろを微分」と口で覚えると、順番を間違えにくいよ。
30秒でつかむ
- x＝aでの微分係数の極限が存在するとき、f(x)はx＝aで微分可能という。
- 積の導関数は(fg)′＝f′g＋fg′、商の導関数は(f/g)′＝(f′g−fg′)/g²で求める。
- 連続だが微分可能でない点を持つ関数があり、連続性と微分可能性は別の性質だ。
詳しく
公式
数学Ⅱでは三次までの多項式関数を中心に、定数倍・和・差の導関数を学んだ。数学Ⅲでは、2つの関数f(x)・g(x)の積と商の導関数まで扱えるようにする。
積の導関数は。商の導関数は、g(x)≠0のときで求める。
商の導関数の公式を使うと、x⁻ⁿの形（nは自然数）の導関数もとなり、xⁿの導関数(xⁿ)′＝nxⁿ⁻¹がnが負の整数でも成り立つことが分かる。
例題
例題：f(x)＝(2x＋1)(x²−3)の導関数f′(x)を、積の導関数の公式で求めよ。
f(x)をu(x)＝2x＋1、v(x)＝x²−3の積と見ると、u′(x)＝2、v′(x)＝2xなので、公式に代入してになる。
商の例：g(x)＝x²/(x＋1)の導関数は、商の導関数の公式より。g′(1)＝(1＋2)/4＝3/4になる。
なぜそうなるか
微分可能性は「連続」より強い性質だ。関数f(x)＝|x|はx＝0で連続（つながっている）だが、x＝0の左右で傾き（新しいタブで開きます）が−1と1に変わり、hを0に近づける極限が一方向でしか決まらないので微分可能ではない。
一方、g(x)をx＜0では0、x≧0ではx²と定める関数は、x＝0の前後で傾きがどちらも0に近づくため、x＝0でも微分可能になる。連続であっても微分可能でない点を含む関数の例と、含まない関数の例を見比べると、2つの性質の違いがはっきりする。
積の導関数の公式も、定義どおりに確かめられる。(fg)(x＋h)−(fg)(x)をf(x＋h)g(x＋h)−f(x)g(x＋h)＋f(x)g(x＋h)−f(x)g(x)と分けてhで割り、hを0に近づけると、f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)に近づく。
確認問題
確認問題（解答用紙）
スマホやタブレットで読み取ると、この問題をその場で解けます。
https://manazoo.com/math/differentiability-and-product-quotient-rule/?from=print#quiz
f(x)＝(2x＋1)(x²−3)の導関数f′(x)を積の導関数の公式で求め、f′(1)の値を求めよ。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：2
積の導関数の公式を使うと、f′(x)＝6x²＋2x−6になる。f′(1)＝6＋2−6＝2。g(x)＝x²/(x＋1)の導関数g′(x)を商の導関数の公式で求め、g′(1)の値を求めよ。分数の形で、/（スラッシュ）を使って答えよう。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：3/4
g′(x)＝(2x(x＋1)−x²)/(x＋1)²＝(x²＋2x)/(x＋1)²なので、g′(1)＝(1＋2)/4＝3/4。商の導関数の公式を使って求めると、f(x)＝x⁻²（＝1/x²）の導関数f′(x)はどれか。
- ◯ x⁻³
- ◯ −2x⁻³
- ◯ −2x⁻¹
- ◯ 2x⁻³
正解：−2x⁻³
(xⁿ)′＝nxⁿ⁻¹はnが負の整数でも成り立つので、(x⁻²)′＝−2x⁻³になる。f(x)＝1/x²を商の導関数（分子が1で導関数0）で確かめても同じ結果が得られる。f(x)＝|x|がx＝0で微分可能でない理由として正しいものはどれか。
- ◯ x＝0の前後で平均変化率の極限が−1と1に分かれ、1つに決まらないから
- ◯ x＝0でf(x)の値が負になるから
- ◯ x＝0でf(x)が連続でないから
- ◯ x＝0でf(x)の値が定義されていないから
正解：x＝0の前後で平均変化率の極限が−1と1に分かれ、1つに決まらないから
f(x)＝|x|はx＝0でもつながっていて連続だが、x＜0側の傾き（新しいタブで開きます）は−1、x＞0側の傾きは1で、hを0に近づける平均変化率（新しいタブで開きます）の極限が一方向に決まらない。だから微分可能ではない。
単元のポイント
- 微分可能 x＝aでの微分係数f′(a)の極限が存在すること
- 積の導関数 (fg)′＝f′g＋fg′
- 商の導関数 (f/g)′＝(f′g−fg′)/g²（g(x)≠0）