三角関数(さんかくかんすう)の導関数(どうかんすう)

三角関数(さんかくかんすう)の導関数(どうかんすう)は、定義(ていぎ)どおりに極限(きょくげん)を計算(けいさん)して求(もと)める。hを0に近(ちか)づけるとき、sin h/hは1に、(1−cos h)/hは0に近(ちか)づく（この2つの極限(きょくげん)は、別(べつ)の単元(たんげん)「極限(きょくげん)」で詳(くわ)しく扱(あつか)う）。

この2つの極限(きょくげん)と三角関数(さんかくかんすう)の加法(かほう)定理(ていり)を使(つか)うと、$\mathbf{(\sin x)' = \cos x}$、$\mathbf{(\cos x)' = -\sin x}$、$\mathbf{(\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x}}$が求(もと)まる。

cos x＝sin(x＋π/2)という関係(かんけい)を使(つか)うとcos xの導関数(どうかんすう)をsin xの導関数(どうかんすう)から導(みちび)けるし、tan x＝sin x/cos xに商(しょう)の導関数(どうかんすう)（新しいタブで開きます）の公式(こうしき)を使(つか)うとtan xの導関数(どうかんすう)が求(もと)まる。

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例題(れいだい)：y＝3sin x−2cos xの導関数(どうかんすう)dy/dxを求(もと)め、x＝0でのdy/dxの値(あたい)を求(もと)めよ。

(sin x)′＝cos x、(cos x)′＝−sin xを使(つか)うと、$\mathbf{\frac{dy}{dx} = 3\cos x + 2\sin x}$。x＝0ではcos0＝1、sin0＝0なので、dy/dx＝3×1＋2×0＝3になる。

もう一(ひと)つ：f(x)＝tan xの導関数(どうかんすう)はf′(x)＝1/cos²xなので、x＝π/4ではcos(π/4)＝1/√2より、$\mathbf{f'\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{(1/\sqrt{2})^2} = 2}$になる。

(sin x)′＝cos xを、加法(かほう)定理(ていり)sin(x＋h)＝sin x cos h＋cos x sin hを使(つか)って確(たし)かめよう。sin(x＋h)−sin x＝sin x(cos h−1)＋cos x sin hなので、hで割(わ)ると$\mathbf{\sin x \cdot \frac{\cos h-1}{h} + \cos x \cdot \frac{\sin h}{h}}$になる。

hを0に近(ちか)づけると、(cos h−1)/hは0に、sin h/hは1に近(ちか)づくので、この式(しき)全体(ぜんたい)はsin x×0＋cos x×1＝cos xに近(ちか)づく。これが(sin x)′＝cos xの理由(りゆう)だ。

この結果(けっか)を積(せき)の導関数(どうかんすう)の公式(こうしき)と組(く)み合(あ)わせ（新しいタブで開きます）て確(たし)かめることもできる。f(x)＝sin x cos xの導関数(どうかんすう)は、(sin x)′cos x＋sin x(cos x)′＝cos²x−sin²x＝cos2xになり、三角関数(さんかくかんすう)の2倍角(ばいかく)の公式(こうしき)と一致(いっち)する。

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