条件付(じょうけんつ)き確率(かくりつ)

すでに起(お)こったことが分(わ)かっている事象(じしょう)$A$を踏(ふ)まえて、事象(じしょう)$B$が起(お)こる確率(かくりつ)を考(かんが)えることがある。これを$A$が起(お)こったときの$B$の条件付(じょうけんつ)き確率(かくりつ)といい、$P_A(B)$と書(か)く。

条件付(じょうけんつ)き確率(かくりつ)は$\mathbf{P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}}$で求(もと)める。全体(ぜんたい)を$A$が起(お)こった場合(ばあい)だけに絞(しぼ)り、その中(なか)で$B$も起(お)こった割合(わりあい)を考(かんが)えていると見(み)ればよい。

この式(しき)を変形(へんけい)すると$\mathbf{P(A\cap B)=P(A)P_A(B)}$。$B$を基準(きじゅん)にしても同(おな)じ共通(きょうつう)部分(ぶぶん)を求(もと)められる。だから$\mathbf{P(A\cap B)=P(B)P_B(A)}$も成(な)り立(た)つ。この2つをまとめて確率(かくりつ)の乗法(じょうほう)定理(ていり)という。

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例題(れいだい)：当(あ)たりくじ2本(ほん)、はずれくじ3本(ほん)の合計(ごうけい)5本(ほん)から、Pさん、Qさんの順(じゅん)に1本(ほん)ずつ引(ひ)く（引(ひ)いたくじは戻(もど)さない）。Qさんが当(あ)たりを引(ひ)く確率(かくりつ)を求(もと)めよう。

Pさんが当(あ)たりを引(ひ)く事象(じしょう)を$A$、Qさんが当(あ)たりを引(ひ)く事象(じしょう)を$B$とする。Pさんが当(あ)たったとき（$P(A)=\dfrac{2}{5}$）、残(のこ)り4本中(ほんちゅう)1本(ほん)が当(あ)たりなので$P_A(B)=\dfrac{1}{4}$。

Pさんがはずれたとき（確率(かくりつ)$\dfrac{3}{5}$）、残(のこ)り4本中(ほんちゅう)2本(ほん)が当(あ)たりなので条件付(じょうけんつ)き確率(かくりつ)は$\dfrac{2}{4}$。乗法(じょうほう)定理(ていり)を使(つか)う。$\dfrac{2}{5}\times\dfrac{1}{4}=\dfrac{2}{20}$。$\dfrac{3}{5}\times\dfrac{2}{4}=\dfrac{6}{20}$。これらを足(た)すと$P(B)=\mathbf{\dfrac{2}{5}}$になり、Pさんと同(おな)じ確率(かくりつ)だ。

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面積(めんせき)図(ず)で考(かんが)えると、全体(ぜんたい)の長方形(ちょうほうけい)の面積(めんせき)を1とする。$A$の部分(ぶぶん)の面積(めんせき)が$P(A)$、$A$と$B$が重(かさ)なる部分(ぶぶん)の面積(めんせき)が$P(A\cap B)$になる。$P_A(B)$は$A$の面積(めんせき)を基準(きじゅん)にした$A\cap B$の割合(わりあい)だ。重(かさ)なる部分(ぶぶん)の面積(めんせき)を$A$の面積(めんせき)で割(わ)る形(かたち)になる。

くじを引(ひ)く例題(れいだい)でQさんの当(あ)たる確率(かくりつ)がPさんと同(おな)じ$\dfrac{2}{5}$になったのは偶然(ぐうぜん)ではない。引(ひ)く前(まえ)には誰(だれ)が何番目(なんばんめ)に引(ひ)いても当(あ)たりくじの位置(いち)は決(き)まっていないため、引(ひ)く順番(じゅんばん)は当(あ)たりやすさに関係(かんけい)しないと言(い)える。

一方(いっぽう)、Pさんがすでに当(あ)たりを引(ひ)いたと分(わ)かったあとを考(かんが)える。このときのQさんの条件付(じょうけんつ)き確率(かくりつ)は$P_A(B)=\dfrac{1}{4}$になる。これは何(なに)も分(わ)からない段階(だんかい)の確率(かくりつ)$\dfrac{2}{5}$より小(ちい)さい。情報(じょうほう)が増(ふ)えると確率(かくりつ)の見(み)え方(かた)が変(か)わることが、条件付(じょうけんつ)き確率(かくりつ)の面白(おもしろ)さだ。