期待値(きたいち)

くじやルーレットのように、結果(けっか)によって得(え)られる値(あたい)が変(か)わり、それぞれ確率(かくりつ)も決(き)まっている場面(ばめん)を考(かんが)えよう。起(お)こりうる値(あたい)を$x_1,x_2,\ldots,x_n$とする。それぞれの確率(かくりつ)を$p_1,p_2,\ldots,p_n$としよう。

期待値(きたいち)は、値(あたい)と確率(かくりつ)の積(せき)をすべて足(た)し合(あ)わせて求(もと)める。式(しき)で書(か)くと$\mathbf{E=x_1p_1+x_2p_2+\cdots+x_np_n}$になる。例(たと)えば、賞金(しょうきん)が0円(えん)・500円(えん)・3000円(えん)、確率(かくりつ)がそれぞれ7/10・2/10・1/10のくじを考(かんが)える。このとき期待値(きたいち)は図(ず)のとおり$E=400$円(えん)だ。確率(かくりつ)の合計(ごうけい)は$p_1+p_2+\cdots+p_n=1$になる。

期待値(きたいち)は、実際(じっさい)に出(で)る値(あたい)ではなく、同(おな)じ試行(しこう)を何度(なんど)もくり返(かえ)したときに平均(へいきん)的(てき)に期待(きたい)できる値(あたい)を表(あらわ)す。1回(かい)だけの結果(けっか)とは一致(いっち)しないことも多(おお)い。

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例題(れいだい)：あるルーレットは、1等(いっとう)500円(えん)のマスが全体(ぜんたい)の$\dfrac{1}{5}$を占(し)める。2等(とう)100円(えん)のマスが$\dfrac{2}{5}$を占(し)める。はずれ0円(えん)のマスが残(のこ)り$\dfrac{2}{5}$を占(し)めている。1回(かい)まわしたときの期待値(きたいち)を求(もと)めよう。

盤面(ばんめん)の面積(めんせき)比(ひ)がそのまま確率(かくりつ)になる。1等(いっとう)が出(で)る確率(かくりつ)は$\dfrac{1}{5}$、2等(とう)は$\dfrac{2}{5}$。はずれの確率(かくりつ)は$\dfrac{2}{5}$になる。1等(いっとう)の寄与(きよ)は$500\times\dfrac{1}{5}=100$。2等(とう)の寄与(きよ)は$100\times\dfrac{2}{5}=40$。はずれの寄与(きよ)は$0\times\dfrac{2}{5}=0$。

計算(けいさん)すると$E=100+40+0=\mathbf{140}$円(えん)。盤面(ばんめん)の面積(めんせき)比(ひ)を確率(かくりつ)として使(つか)うと、賞金(しょうきん)の表(ひょう)からすぐに期待値(きたいち)を求(もと)められる。

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日常(にちじょう)の不(ふ)確実(かくじつ)な出来事(できごと)では、同様(どうよう)に確(たし)からしい根元事象(こんげんじしょう)（新しいタブで開きます）が少(すく)ないことが多(おお)い。そこで、過去(かこ)のデータの相対(そうたい)度数(どすう)（新しいタブで開きます）を確率(かくりつ)とみなしたり、自分(じぶん)で確率(かくりつ)を仮定(かてい)したりして期待値(きたいち)を求(もと)め、判断(はんだん)の材料(ざいりょう)にする。

たとえば、お店(みせ)が1週間後(しゅうかんご)のイベント用(よう)にアイスクリームをどれだけ仕入(しい)れるかを考(かんが)える場面(ばめん)がある。売(う)れる個数(こすう)ごとに確率(かくりつ)を見積(みつ)もり、期待値(きたいち)を比(くら)べることで仕入(しい)れの量(りょう)を決(き)める意思(いし)決定(けってい)に役立(やくだ)つ。

ルーレットのように盤面(ばんめん)を区切(くぎ)って賞(しょう)を決(き)める場合(ばあい)、各(かく)賞(しょう)の出(で)やすさは扇形(おうぎがた)（新しいタブで開きます）の面積(めんせき)比(ひ)で考(かんが)えられる。面積(めんせき)比(ひ)が確率(かくりつ)そのものになるので、図(ず)を見(み)ただけで期待値(きたいち)の計算(けいさん)に進(すす)める。