独立(どくりつ)な試行(しこう)と反復試行(はんぷくしこう)の確率(かくりつ)

2つの試行(しこう)の結果(けっか)がお互(たが)いに影響(えいきょう)しないとき、この2つの試行(しこう)は独立(どくりつ)であるという。独立(どくりつ)な試行(しこう)$S$で事象(じしょう)$A$が起(お)こり、試行(しこう)$T$で事象(じしょう)$B$が起(お)こるとする。この両方(りょうほう)が起(お)こる確率(かくりつ)は$\mathbf{P(A)P(B)}$という確率(かくりつ)の乗法(じょうほう)定理(ていり)（新しいタブで開きます）で求(もと)まる。

たとえば確率(かくりつ)$p$で起(お)こる事象(じしょう)と、それとは独立(どくりつ)に確率(かくりつ)$q$で起(お)こる事象(じしょう)を考(かんが)える。両方(りょうほう)とも起(お)こる確率(かくりつ)は$p\times q$。樹形図(じゅけいず)で考(かんが)えると、1つ目(め)の枝(えだ)の先(さき)に2つ目(め)の枝(えだ)がぶら下(さ)がる形(かたち)になり、場合(ばあい)の数(かず)のかけ算(ざん)と対応(たいおう)する。

同(おな)じ条件(じょうけん)の試行(しこう)をくり返(かえ)すことを反復試行(はんぷくしこう)という。1回(かい)あたり確率(かくりつ)$p$で起(お)こる試行(しこう)を$n$回(かい)くり返(かえ)すとき、ある事象(じしょう)がちょうど$r$回(かい)起(お)こる確率(かくりつ)を考(かんが)える。これは$\mathbf{{}_{n}\mathrm{C}_{r}\,p^{r}(1-p)^{n-r}}$で求(もと)まる。

${}_{n}\mathrm{C}_{r}$は、$n$回(かい)のうちどの$r$回(かい)で起(お)こるかを選(えら)ぶ場合(ばあい)の数(かず)。残(のこ)りの$n-r$回(かい)は起(お)こらないので確率(かくりつ)は$(1-p)^{n-r}$になる。

（押すと拡大して表示します）

例題(れいだい)：硬貨(こうか)を1回(かい)投(な)げて表(ひょう)が出(で)る事象(じしょう)と、さいころを1回(かい)投(な)げて3の倍数(ばいすう)（新しいタブで開きます）の目(め)が出(で)る事象(じしょう)は独立(どくりつ)である。両方(りょうほう)とも起(お)こる確率(かくりつ)を求(もと)めよう。

硬貨(こうか)で表(ひょう)が出(で)る確率(かくりつ)は$P(\text{表})=\dfrac{1}{2}$。さいころで3の倍数(ばいすう)（3、6）が出(で)る確率(かくりつ)は$P(\text{3の倍数})=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$。2つの試行(しこう)は独立(どくりつ)なので、確率(かくりつ)の乗法(じょうほう)定理(ていり)が使(つか)える。

両方(りょうほう)とも起(お)こる確率(かくりつ)を求(もと)めよう。$\mathbf{\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{6}}$になる。硬貨(こうか)とさいころのように、関係(かんけい)のない試行(しこう)どうしは独立(どくりつ)になる。

（押すと拡大して表示します）

独立(どくりつ)な試行(しこう)の確率(かくりつ)がかけ算(ざん)になる理由(りゆう)は、樹形図(じゅけいず)で考(かんが)えるとわかる。1つ目(め)の試行(しこう)の結果(けっか)それぞれに、2つ目(め)の試行(しこう)の結果(けっか)がすべて同(おな)じ割合(わりあい)でぶら下(さ)がるので、場合(ばあい)の数(かず)は積(せき)になる。

反復試行(はんぷくしこう)の公式(こうしき)には${}_{n}\mathrm{C}_{r}$が付(つ)く。これは「どの回(かい)に起(お)こるか」を区別(くべつ)して数(かぞ)える必要(ひつよう)があるからだ。起(お)こる回(かい)の組合(くみあわ)せ（新しいタブで開きます）ごとに$p^{r}(1-p)^{n-r}$という同(おな)じ確率(かくりつ)を持(も)つ場合(ばあい)がある。それが${}_{n}\mathrm{C}_{r}$通(とお)りあるので、それらを合計(ごうけい)している。

独立(どくりつ)かどうかを見分(みわ)けるときは、2つの事象(じしょう)が同時(どうじ)には起(お)こらない排反(はいはん)の話(はなし)と混同(こんどう)しないこと。排反(はいはん)は確率(かくりつ)を足(た)し、独立(どくりつ)は確率(かくりつ)をかける。別(べつ)の性質(せいしつ)なので取(と)り違(ちが)えないようにしよう。