母(はは)平均(へいきん)の推定(すいてい)（区間(くかん)推定(すいてい)）

母(はは)平均(へいきん)mは分(ぶん)からないが、標本(ひょうほん)平均(へいきん)X̄から、mが入(はい)りそうな範囲(はんい)を推定(すいてい)できる。これを区間(くかん)推定(すいてい)という。

標本(ひょうほん)平均(へいきん)の分布(ぶんぷ)はN(m,σ²/n)に近(ちか)いので、X̄はmの近(ちか)くに$\frac{1.96\sigma}{\sqrt{n}}$の範囲(はんい)でよく入(はい)る。

母(はは)平均(へいきん)mの信頼(しんらい)区間(くかん)（信頼(しんらい)度(ど)95%）は$\bar{X}-\frac{1.96\sigma}{\sqrt{n}}\le m\le\bar{X}+\frac{1.96\sigma}{\sqrt{n}}$だ。

信頼(しんらい)度(ど)を99%にすると、1.96の代(か)わりに約(やく)2.58を使(つか)い、区間(くかん)はさらに広(ひろ)くなる。

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例題(れいだい)：母(はは)標準偏差(ひょうじゅんへんさ)20、標本(ひょうほん)の大(おお)きさn＝25、標本(ひょうほん)平均(へいきん)X̄＝108として、95%の信頼(しんらい)区間(くかん)を求(もと)めよう。

σ/√nは前(まえ)のページで求(もと)めた通(とお)り4。1.96×4＝7.84が区間(くかん)の半分(はんぶん)の幅(はば)になる。

信頼(しんらい)区間(くかん)は108−7.84＝100.16から108+7.84＝115.84までの範囲(はんい)だ。

この範囲(はんい)に、本当(ほんとう)の母(はは)平均(へいきん)mが入(はい)っていると、95%の確(たし)からしさで推定(すいてい)できる。

95%で1.96を使(つか)う理由(りゆう)は、標準(ひょうじゅん)正規(せいき)分布(ぶんぷ)（新しいタブで開きます）でP(−1.96≤Z≤1.96)＝0.95になるからだ。

標本(ひょうほん)平均(へいきん)を標準(ひょうじゅん)化(か)したZが、この範囲(はんい)に入(はい)る確率(かくりつ)（新しいタブで開きます）が95%ということになる。

だから母(はは)平均(へいきん)mも、X̄±1.96×σ/√nの範囲(はんい)に、95%の確(たし)からしさで入(はい)ると言(い)える。

信頼(しんらい)度(ど)を高(たか)くするほど範囲(はんい)は広(ひろ)がり、低(ひく)くするほど狭(せま)くなるが外(はず)れる心配(しんぱい)も増(ふ)える。

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