標本(ひょうほん)平均(へいきん)の分布(ぶんぷ)

母(はは)平均(へいきん)m、母(はは)標準偏差(ひょうじゅんへんさ)σの母集団(ぼしゅうだん)から、無作為(むさくい)に大(おお)きさnの標本(ひょうほん)を抽出(ちゅうしゅつ)する。

標本(ひょうほん)の値(あたい)をX1,X2,…,Xnとするとき、標本(ひょうほん)平均(へいきん)は$\bar{X}=\frac{X_1+X_2+\cdots+X_n}{n}$だ。

標本(ひょうほん)平均(へいきん)の期待値(きたいち)（新しいタブで開きます）はmに等(ひと)しく、標準偏差(ひょうじゅんへんさ)は$\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$になる。

nが十分(じゅうぶん)大(おお)きいとき、標本(ひょうほん)平均(へいきん)の分布(ぶんぷ)は正規(せいき)分布(ぶんぷ)$N(m,\frac{\sigma^2}{n})$に近(ちか)づく。

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例題(れいだい)：母(はは)平均(へいきん)100、母(はは)標準偏差(ひょうじゅんへんさ)20の母集団(ぼしゅうだん)から、大(おお)きさn＝25の標本(ひょうほん)を無作為(むさくい)に抽出(ちゅうしゅつ)する。

標本(ひょうほん)平均(へいきん)の標準偏差(ひょうじゅんへんさ)は$\frac{20}{\sqrt{25}}=4$になる。標本(ひょうほん)平均(へいきん)はN(100,4²)に近(ちか)い分布(ぶんぷ)に従(したが)う。

標本(ひょうほん)平均(へいきん)が108になったとき、$Z=\frac{108-100}{4}=2$と標準(ひょうじゅん)化(か)できる。

正規(せいき)分布表(ぶんぷひょう)を使(つか)えば、標本(ひょうほん)平均(へいきん)が108以上(いじょう)になる確率(かくりつ)（新しいタブで開きます）なども求(もと)められる。

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標本(ひょうほん)平均(へいきん)の標準偏差(ひょうじゅんへんさ)がσ/√nになる理由(りゆう)は、前(まえ)のページの分散(ぶんさん)の公式(こうしき)から導(みちび)ける。

$\bar{X}=\frac{1}{n}(X_1+\cdots+X_n)$なので、V(aX+b)＝a²V(X)の形(かたち)とみなせる。

独立(どくりつ)な標本(ひょうほん)では、分散(ぶんさん)がnσ²まで足(た)し合(あ)わされ、$\frac{1}{n^2}$倍(ばい)した値(あたい)がσ²/nだ。

だからnを大(おお)きくするほど標本(ひょうほん)平均(へいきん)は母(はは)平均(へいきん)に近(ちか)づき、散(ち)らばりは小(ちい)さくなる。

中心(ちゅうしん)極限(きょくげん)定理(ていり)はどんな母集団(ぼしゅうだん)にも成(な)り立(た)つ一般(いっぱん)的(てき)な定理(ていり)で、ここでは正規(せいき)分布(ぶんぷ)に近(ちか)づく特別(とくべつ)な場合(ばあい)を扱(あつか)う。