関数(かんすう)の連続(れんぞく)性(せい)

関数(かんすう)f(x)がx＝aで連続(れんぞく)であるとは、次(つぎ)の3つがすべて成(な)り立(た)つことをいう。①f(a)が定義(ていぎ)されている。②$\lim_{x \to a}f(x)$が存在(そんざい)する。③その極限値(きょくげんち)がf(a)と一致(いっち)する、つまり$\mathbf{\lim_{x \to a}f(x)=f(a)}$。

この3つのうち1つでも欠(か)けると、x＝aで不連続(ふれんぞく)という。ある区間(くかん)のすべての点(てん)で連続(れんぞく)な関数(かんすう)を、その区間(くかん)で連続(れんぞく)な関数(かんすう)という。

多項式(たこうしき)関数(かんすう)はすべての実数(じっすう)（新しいタブで開きます）で連続(れんぞく)、分数(ぶんすう)関数(かんすう)は分母(ぶんぼ)が0にならない範囲(はんい)で連続(れんぞく)である。また、指数(しすう)関数(かんすう)・対数(たいすう)関数(かんすう)は、それぞれの定義域内(ていぎいきない)のすべての値(あたい)で連続(れんぞく)であることが知(し)られている。

例題(れいだい)：$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$（x≠2）、f(2)＝5と定(さだ)めるとき、f(x)はx＝2で連続(れんぞく)か。

x≠2のとき、$f(x)=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2$なので、$\lim_{x \to 2}f(x)=2+2=4$になる。

一方(いっぽう)、f(2)＝5と定(さだ)めてあるので、極限値(きょくげんち)4とf(2)＝5が一致(いっち)しない。よって、f(x)はx＝2で不連続(ふれんぞく)である。もしf(2)を4と定(さだ)めていれば連続(れんぞく)になっていた。

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不連続(ふれんぞく)には、上(うえ)の例題(れいだい)のように極限値(きょくげんち)はあるのにf(a)とずれている場合(ばあい)のほかに、値(あたい)そのものが途中(とちゅう)で飛(と)ぶ場合(ばあい)もある。f(x)＝x（x＜1）、f(x)＝x＋1（x≧1）という関数(かんすう)で確(たし)かめよう。

xを1より小(ちい)さい値(あたい)から1に近(ちか)づけると、f(x)はxにそのまま近(ちか)づくので1に近(ちか)づく。ところがf(1)＝1＋1＝2なので、xが1未満(みまん)から近(ちか)づくときの値(あたい)1と、x＝1での値(あたい)2がずれてしまい、グラフがジャンプしている。この場合(ばあい)、x→1での極限値(きょくげんち)そのものが定(さだ)まらない。

指数(しすう)関数(かんすう)や対数(たいすう)関数(かんすう)がなぜ定義域内(ていぎいきない)のすべての点(てん)で連続(れんぞく)と言(い)えるかは、コンピュータなどでグラフを細(こま)かく表示(ひょうじ)すると、グラフがどこでも途切(とぎ)れずにつながっていることから直観(ちょっかん)的(てき)に確(たし)かめられる。

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