三次の乗法公式と因数分解
ゾウ先生a³−b³を見たら、(a−b)と(a²＋ab＋b²)の積に分けられないか、まず疑ってみよう。
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- (a＋b)³＝a³＋3a²b＋3ab²＋b³、(a−b)³＝a³−3a²b＋3ab²−b³は、分配法則（新しいタブで開きます）で導ける三次の乗法公式（新しいタブで開きます）。
- a³＋b³＝(a＋b)(a²−ab＋b²)、a³−b³＝(a−b)(a²＋ab＋b²)は、3乗の和と差を因数分解（新しいタブで開きます）する公式。
- x³＋8のような式は、2³の形を見つけて公式に当てはめると因数分解できる。
詳しく
公式
中学と数学Ⅰでは、(a＋b)²や(ax＋b)(cx＋d)のような2次までの乗法公式を学んだ。ここからは、3乗（三次）の場合を見ていこう。
(a＋b)³は、(a＋b)×(a＋b)×(a＋b)を分配法則で順に展開すると、になる。(a−b)³も同じ手順でと求まる。
これを逆向きに読むと、3乗の和と差の因数分解の公式だ。、の2つで、下の図のように高さ(a−b)、幅a²・ab・b²の3つの帯の面積の合計でも確かめられる。
例題
例題：x³＋8を因数分解せよ。
8＝2³なので、x³＋8＝x³＋2³とみて、a＝x、b＝2として公式に当てはめる。
。右辺を展開すると−2x²と2x²、4xと−4xがそれぞれ消えてx³＋8に戻るので、確かめられる。
27x³−1も同じように、27x³＝(3x)³、1＝1³とみてと因数分解できる。
なぜそうなるか
(a＋b)³を分配法則だけで展開した過程を、図で確かめてみよう。(a＋b)を3回かけると、a・a・a、a・a・b、a・b・b、b・b・bの4種類の組み合わせが出てくる。
a・a・bの形になる組み合わせは、3つのaとbのうちどれをbにするかで3通りあるので3a²bに、a・b・bの形も同じ理由で3通りあるので3ab²になる。
下の図は、(a＋b)³を4種類の直方体の体積の合計として表したものだ。a³とb³は1個ずつ、a²bとab²はそれぞれ3個ずつ集まって(a＋b)³になる。
確認問題
確認問題（解答用紙）
スマホやタブレットで読み取ると、この問題をその場で解けます。
https://manazoo.com/math/cubic-expansion-and-factoring/?from=print#quiz
a＝5、b＝2のとき、a³＋b³の値を求めよ。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：133
a³＋b³＝(a＋b)(a²−ab＋b²)に代入すると(5＋2)(25−10＋4)＝7×19＝133。直接計算しても5³＋2³＝125＋8＝133になる。x³＋1を因数分解すると、どれになるか。
- ◯ (x＋1)(x²−x＋1)
- ◯ (x−1)(x²＋x＋1)
- ◯ (x＋1)(x²＋x＋1)
- ◯ (x＋1)(x²−x−1)
正解：(x＋1)(x²−x＋1)
1＝1³なので、a＝x、b＝1としてa³＋b³＝(a＋b)(a²−ab＋b²)に当てはめると(x＋1)(x²−x＋1)になる。2つ目はx³＋2x²＋2x＋1、3つ目はx³−1、4つ目はx³−2x−1になり、どれもx³＋1と一致しない。a＝4のとき、(a−1)³の値を求めよ。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：27
(a−1)³＝a³−3a²＋3a−1に代入すると64−48＋12−1＝27。(a−1)＝3を直接3乗しても27になる。x³−64を因数分解すると、どれになるか。
- ◯ (x＋4)(x²−4x＋16)
- ◯ (x−4)(x²＋4x−16)
- ◯ (x−4)(x²＋4x＋16)
- ◯ (x−4)(x²−4x＋16)
正解：(x−4)(x²＋4x＋16)
64＝4³なので、a＝x、b＝4としてa³−b³＝(a−b)(a²＋ab＋b²)に当てはめると(x−4)(x²＋4x＋16)になる。2つ目はab項の符号を取り違えた式、3つ目はx³＋64、4つ目はx³−32x＋64になり、どれもx³−64と一致しない。
単元のポイント
- 三次の乗法公式 (a＋b)³や(a−b)³を展開する4つの公式
- 3乗の和の因数分解 a³＋b³＝(a＋b)(a²−ab＋b²)
- 3乗の差の因数分解 a³−b³＝(a−b)(a²＋ab＋b²)