接線の方程式
ゾウ先生曲線の外にある点からの接線は、まず接する点を(t, f(t))と文字でおくのがコツだよ。
30秒でつかむ
- 曲線y＝f(x)上の点(a, f(a))での接線の傾きは、微分係数f′(a)そのもの。
- 接線の方程式はy−f(a)＝f′(a)(x−a)で求められる。
- 曲線外の点からの接線は、接する点を(t, f(t))とおいて式を立てると求められる。
詳しく
公式
前のページで学んだ微分係数f′(a)は、曲線y＝f(x)上の点(a, f(a))における接線の傾きを表している。
傾きがmで点(x₁, y₁)を通る直線の式y−y₁＝m(x−x₁)に、傾きm＝f′(a)と点(a, f(a))を当てはめると、接線の方程式が求まる。
この式は、点(a, f(a))がどんな曲線上の点でも使える。f(a)とf′(a)さえ求めれば、接線の方程式はそれで完成だ。
例題
例題：曲線y＝x³−2x＋1上の点(1, 0)における接線の方程式を求めよ。
f(x)＝x³−2x＋1とおくと、f(1)＝1−2＋1＝0。f′(x)＝3x²−2なので、f′(1)＝3−2＝1。これを公式に当てはめると、よりになる。
なぜそうなるか
与えられた点が曲線の上にないときは、同じ公式がそのままは使えない。曲線のどこで接しているかが分からないからだ。このときは、接する点をいったん(t, f(t))と文字でおいて式を立てる。
例えば、曲線y＝x²上の点(t, t²)での接線はy−t²＝2t(x−t)、つまりy＝2tx−t²。これが点(1, −3)を通るとすると、−3＝2t−t²より、でt＝3またはt＝−1。接する点が2つ見つかったので、接線もy＝6x−9とy＝−2x−1の2本ある。
t＝3とt＝−1をそれぞれ元の式に戻して確かめると、どちらの直線も点(1, −3)を通り、曲線y＝x²とただ1点で接していることが分かる。曲線外の点からは、このように複数の接線が引けることがある。
確認問題
確認問題（解答用紙）
スマホやタブレットで読み取ると、この問題をその場で解けます。
https://manazoo.com/math/tangent-line-equation/?from=print#quiz
f(x)＝x²−4x＋5 のx＝3における接線の傾きを求めよ。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：2
接線の傾きは微分係数f′(a)そのもの。f′(x)＝2x−4なので、f′(3)＝2×3−4＝2。曲線y＝x³−2x＋1上の点(−1, f(−1))における接線の方程式をy＝ax＋bの形で求めるとき、bの値を求めよ。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：3
f(−1)＝−1＋2＋1＝2、f′(x)＝3x²−2よりf′(−1)＝3−2＝1。接線はy−2＝1(x+1)、整理するとy＝x＋3なのでb＝3。点(1, −3)からy＝x²に引いた接線のうち、傾きが負であるものはどれか。
- ◯ y＝2x−1
- ◯ y＝−6x＋9
- ◯ y＝−2x−1
- ◯ y＝6x−9
正解：y＝−2x−1
接点（新しいタブで開きます）をt＝−1とすると、接線はy−1＝2×(−1)(x−(−1))より、y＝−2x−1になる。もう一方のt＝3のときはy＝6x−9で傾きは正。点(2, 0)からy＝x²に引ける接線は何本あるか。数字で答えよう。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：2
接点を(t, t²)とおくと接線はy＝2tx−t²。点(2, 0)を通る条件は0＝4t−t²、つまりt(t−4)＝0でt＝0, 4の2つ。接点が2つ見つかるので接線も2本。
単元のポイント
- 接線の方程式 y−f(a)＝f′(a)(x−a)
- 接線の傾き 曲線上の点(a, f(a))での接線の傾きは微分係数f′(a)
- 曲線外の点からの接線 接する点を(t, f(t))とおいて、通る条件から文字tを求める