内積(ないせき)の図形(ずけい)への応用(おうよう)

2つのベクトル$\vec{a}$、$\vec{b}$がどちらも$\vec{0}$でないとする。

$\vec{a}\perp\vec{b}$なら、なす角(かく)（新しいタブで開きます）θは90°になる。

$\cos90°=0$なので、内積(ないせき)は0になる。

つまり$\vec{a}\perp\vec{b}$と$\vec{a}\cdot\vec{b}=0$は同(おな)じ意味(いみ)だ。

成分(せいぶん)では$\vec{a}=(a_1,a_2)$、$\vec{b}=(b_1,b_2)$とする。

このとき$a_1b_1+a_2b_2=0$が垂直(すいちょく)条件(じょうけん)になる。

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例題(れいだい)：$\vec{a}=(2,3)$、$\vec{b}=(x,-2)$が垂直(すいちょく)になるxを求(もと)めよ。

垂直(すいちょく)条件(じょうけん)$a_1b_1+a_2b_2=0$に当(あ)てはめよう。

$2x-6=0$になるので、これを解(と)くと$x=3$になる。

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内積(ないせき)$\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$を使(つか)おう。

両辺(りょうへん)を$|\vec{a}||\vec{b}|$で割(わ)（新しいタブで開きます）ると、cosθの式(しき)になる。

右辺(うへん)の内積(ないせき)を成分(せいぶん)で書(か)き直(なお)そう。

$\cos\theta=\dfrac{a_1b_1+a_2b_2}{|\vec{a}||\vec{b}|}$になる。

この式(しき)を使(つか)うと、成分(せいぶん)だけからなす角(かく)のcosの値(あたい)が求(もと)まる。

$\cos\theta=0$なら90°、つまり垂直(すいちょく)だと判断(はんだん)できる。