ベクトルの内積(ないせき)

2つのベクトル$\vec{a}$、$\vec{b}$の始点(してん)をそろえ、できる角(かく)をθとする。

この角(かく)θを使(つか)い、内積(ないせき)という数(かず)を定義(ていぎ)する。

内積(ないせき)は$\vec{a}\cdot\vec{b}$と書(か)く。

この値(あたい)は$|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$で求(もと)まる。

成分(せいぶん)でも計算(けいさん)できる。$\vec{a}=(a_1,a_2)$、$\vec{b}=(b_1,b_2)$としよう。

このとき$\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2$になる。

同(おな)じベクトルどうしの内積(ないせき)は$\vec{a}\cdot\vec{a}=|\vec{a}|^2$になる。なす角(かく)が0°で$\cos0°=1$だからだ。

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例題(れいだい)：$|\vec{a}|=6$、$|\vec{b}|=4$、なす角(かく)が60°のとき、内積(ないせき)を求(もと)めよ。

定義(ていぎ)の式(しき)に当(あ)てはめると$\vec{a}\cdot\vec{b}=6\times4\times\cos60°$になる。

$\cos60°=\frac{1}{2}$なので、$6\times4\times\frac{1}{2}=12$。求(もと)める内積(ないせき)は12になる。

成分(せいぶん)の式(しき)$a_1b_1+a_2b_2$は、余弦(よげん)定理(ていり)（新しいタブで開きます）から導(みちび)ける。

$\vec{a}$、$\vec{b}$の始点(してん)をそろえ、三角形(さんかくけい)を作(つく)ろう。

残(のこ)りの1辺(へん)は$\vec{a}-\vec{b}$になる。

余弦(よげん)定理(ていり)より$|\vec{a}-\vec{b}|^2$が求(もと)まる。

$|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2-2|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$に等(ひと)しい。

左辺(さへん)を成分(せいぶん)で展開(てんかい)すると$(a_1-b_1)^2+(a_2-b_2)^2$になる。

この式(しき)を整理(せいり)すると、右辺(うへん)に$2|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$が出(で)てくる。

この部分(ぶぶん)は$2(a_1b_1+a_2b_2)$と等(ひと)しい。

よって内積(ないせき)$|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$が求(もと)まった。

これは成分(せいぶん)の式(しき)$a_1b_1+a_2b_2$と一致(いっち)する。

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