位置(いち)ベクトル

平面上(へいめんじょう)に原点(げんてん)Oと点(てん)Pをとる。

このとき、$\overrightarrow{OP}$を点(てん)Pの位置(いち)ベクトルという。

点(てん)Pの位置(いち)ベクトルは$\vec{p}$と書(か)くことが多(おお)い。

2点(てん)A($\vec{a}$)、B($\vec{b}$)を結(むす)ぶ線分(せんぶん)ABを考(かんが)えよう。

ABをm:nに内分(ないぶん)する点(てん)Pを考(かんが)える。

位置(いち)ベクトルは$\vec{p}=\dfrac{n\vec{a}+m\vec{b}}{m+n}$が成(な)り立(た)つ。

中点(ちゅうてん)Mならm:n＝1:1なので$\vec{m}=\dfrac{\vec{a}+\vec{b}}{2}$になる。

ABをm:nに外分(がいぶん)する点(てん)Qも同(おな)じように考(かんが)えよう。

位置(いち)ベクトルは$\vec{q}=\dfrac{-n\vec{a}+m\vec{b}}{m-n}$になる。

三角形(さんかくけい)ABCの重心(じゅうしん)Gも考(かんが)えよう。

位置(いち)ベクトルは$\vec{g}=\dfrac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}$になる。

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例題(れいだい)：A(1,4)、B(10,−2)とする。

線分(せんぶん)ABを2:1に内分(ないぶん)する点(てん)Pの座標(ざひょう)を求(もと)めよ。

内分(ないぶん)点(てん)（新しいタブで開きます）の式(しき)に当(あ)てはめよう。x座標(ざひょう)は$\dfrac{1\times1+2\times10}{2+1}=7$になる。

y座標(ざひょう)も同様(どうよう)に$\dfrac{1\times4+2\times(-2)}{2+1}=0$になる。

よってPの座標(ざひょう)は(7,0)になる。

内分(ないぶん)点(てん)の式(しき)を導(みちび)いてみよう。

点(てん)Pは線分(せんぶん)ABをm:nに内分(ないぶん)する。

このとき$\overrightarrow{AP}:\overrightarrow{PB}=m:n$になる。

つまり$\overrightarrow{AP}$は$\overrightarrow{AB}$の一部(いちぶ)だ。

$\overrightarrow{AP}=\dfrac{m}{m+n}\overrightarrow{AB}$になる。

$\overrightarrow{AB}=\vec{b}-\vec{a}$になる。

これを使(つか)うと$\vec{p}=\vec{a}+\dfrac{m}{m+n}(\vec{b}-\vec{a})$になる。

この式(しき)を整理(せいり)しよう。

分子(ぶんし)を整理(せいり)すると$\vec{p}=\dfrac{n\vec{a}+m\vec{b}}{m+n}$になる。

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