余弦(よげん)定理(ていり)

中学(ちゅうがく)では、直角(ちょっかく)三角形(さんかくけい)で三(さん)平方(へいほう)の定理(ていり)（新しいタブで開きます）$a^2+b^2=c^2$を学(まな)んだ。この定理(ていり)は、角(かく)が直角(ちょっかく)のときだけ使(つか)える式(しき)だった。

三角形(さんかくけい)ABCの辺(へん)a、b、cと、辺(へん)aと向(む)かい合(あ)う角(かく)Aについて、次(つぎ)の式(しき)が成(な)り立(た)つ。$\mathbf{a^2=b^2+c^2-2bc\cos A}$。これを余弦(よげん)定理(ていり)という。bやcについても同(おな)じ形(かたち)の式(しき)が成(な)り立(た)つ。

$A=90°$のとき$\cos A=0$なので、余弦(よげん)定理(ていり)は$a^2=b^2+c^2$になる。つまり余弦(よげん)定理(ていり)は、三(さん)平方(へいほう)の定理(ていり)を直角(ちょっかく)だけでなく一般(いっぱん)の角(かく)に広(ひろ)げたものといえる。

2辺(へん)と間(あいだ)の角(かく)がわかれば残(のこ)りの辺(へん)を、3辺(へん)がわかればcosAを逆(ぎゃく)に求(もと)めて角(かく)の大(おお)きさを、それぞれ計算(けいさん)できる。

（押すと拡大して表示します）

例題(れいだい)：三角形(さんかくけい)ABCで$b=5$、$c=8$、$A=60°$のとき、辺(へん)aの長(なが)さを求(もと)めよう。

余弦(よげん)定理(ていり)より$a^2=5^2+8^2-2\times5\times8\times\cos60°$を計算(けいさん)する。$=25+64-80\times\dfrac{1}{2}=89-40=49$になる。よって$a=\mathbf{7}$。

逆(ぎゃく)に、この三角形(さんかくけい)で$\cos A$を求(もと)める。$\cos A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$という式(しき)を使(つか)う。計算(けいさん)すると$\cos A=\dfrac{25+64-49}{80}$になる。$=\dfrac{40}{80}=\dfrac{1}{2}$となる。これは$A=60°$と確(たし)かめられる。

（押すと拡大して表示します）

余弦(よげん)定理(ていり)は、2辺(へん)とその間(あいだ)の角(かく)がわかっている三角形(さんかくけい)から、頂点(ちょうてん)に垂線(すいせん)を下(お)ろして直角(ちょっかく)三角形(さんかくけい)を作(つく)り、三(さん)平方(へいほう)の定理(ていり)を使(つか)うと導(みちび)ける。

垂線(すいせん)で三角形(さんかくけい)を2つの直角(ちょっかく)三角形(さんかくけい)に分(わ)けると、それぞれにcosAやsinAで表(あらわ)せる辺(へん)の長(なが)さが現(あらわ)れる。三(さん)平方(へいほう)の定理(ていり)を組(く)み合(あ)わせることで$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$が得(え)られる。

角(かく)が直角(ちょっかく)から離(はな)れるほど、$-2bc\cos A$の項(こう)の大(おお)きさは変化(へんか)していく。鈍角(どんかく)ではcosAが負(ふ)になるので、aの2乗(じょう)はb²＋c²より大(おお)きくなる。この符号(ふごう)の違(ちが)いが、3辺(へん)から鋭角(えいかく)・直角(ちょっかく)・鈍角(どんかく)を見分(みわ)ける手(て)がかりになる。