双曲線(そうきょくせん)

平面上(へいめんじょう)に相異(あいこと)なる2定点(ていてん)F,F'を決(き)める。

点(てん)Pから、Fまでの距離(きょり)PFと、F'までの距離(きょり)PF'の差(さ)の絶対値(ぜったいち)（新しいタブで開きます）が一定(いってい)(＝2a)になる点(てん)Pの集(あつ)まりを双曲線(そうきょくせん)という。

このF,F'を焦点(しょうてん)という。

焦点(しょうてん)をF(c,0)、F'(−c,0)として座標(ざひょう)を決(き)め、$|PF-PF'|=2a$から式(しき)を整理(せいり)すると方程式(ほうていしき)が求(もと)まる。

$b^2=c^2-a^2$とおくと、双曲線(そうきょくせん)の方程式(ほうていしき)は$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$になる。

これを双曲線(そうきょくせん)の標準形(ひょうじゅんけい)という。

この双曲線(そうきょくせん)は2つに分(わ)かれた曲線(きょくせん)(枝(えだ))からなり、x軸上(じくじょう)の点(てん)(±a,0)を頂点(ちょうてん)という。

中心(ちゅうしん)から離(はな)れるにつれて、曲線(きょくせん)は2本(ほん)の直線(ちょくせん)$y=\pm\frac{b}{a}x$に限(かぎ)りなく近(ちか)づく。これを漸近線(ぜんきんせん)という。

（押すと拡大して表示します）

例題(れいだい)：焦点(しょうてん)がF(5,0)、F'(−5,0)で、頂点(ちょうてん)が(±3,0)である双曲線(そうきょくせん)の方程式(ほうていしき)を求(もと)めよ。

頂点(ちょうてん)が(±3,0)なのでa＝3になる。

$b^2=c^2-a^2=25-9=16$より$b=4$になる。

標準形(ひょうじゅんけい)に当(あ)てはめると、方程式(ほうていしき)は$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$になる。

（押すと拡大して表示します）

頂点(ちょうてん)P(3,0)で、|PF−PF'|が本当(ほんとう)に2a＝6になるかを確(たし)かめよう。

焦点(しょうてん)F(5,0)までの距離(きょり)は、x座標(ざひょう)の差(さ)だけなので$PF=5-3=2$になる。

焦点(しょうてん)F'(−5,0)までの距離(きょり)は$PF'=3-(-5)=8$になる。

差(さ)は$PF'-PF=8-2=6$で、2a＝6と等(ひと)しい。

頂点(ちょうてん)は焦点(しょうてん)と同(おな)じx軸上(じくじょう)にあるため、距離(きょり)を座標(ざひょう)の差(さ)だけで求(もと)められる。

他(た)の点(てん)では距離(きょり)の求(もと)め方(かた)は変(か)わるが、差(さ)が6になることは座標(ざひょう)を代入(だいにゅう)すれば確(たし)かめられる。

ソナーで2つの観測(かんそく)点(てん)からの距離(きょり)の差(さ)を使(つか)い、音源(おんげん)の位置(いち)を双曲線上(そうきょくせんじょう)に絞(しぼ)り込(こ)む技術(ぎじゅつ)だ。