三角形(さんかくけい)の面積(めんせき)と図形(ずけい)の計量(けいりょう)

中学(ちゅうがく)では、三角形(さんかくけい)の面積(めんせき)を「底辺(ていへん)×高(たか)さ÷2」で求(もと)めていた。ここでは、高(たか)さが直接(ちょくせつ)わからないときに三角比(さんかくひ)で高(たか)さを表(あらわ)す方法(ほうほう)を学(まな)ぶ。

三角形(さんかくけい)ABCで、辺(へん)bと辺(へん)cの間(あいだ)の角(かく)をAとする。辺(へん)bを底辺(ていへん)とみると、高(たか)さは辺(へん)cと角(かく)Aから$c\sin A$と表(あらわ)せる。

これを面積(めんせき)の公式(こうしき)にあてはめると、$\mathbf{S=\dfrac{1}{2}bc\sin A}$。2辺(へん)とその間(あいだ)の角(かく)がわかれば、高(たか)さを別(べつ)に求(もと)めなくても面積(めんせき)が計算(けいさん)できる。

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例題(れいだい)：池(いけ)をはさんだ2地点(ちてん)O、Aと、池(いけ)の対岸(たいがん)の点(てん)Bがある。$OA=3m$、$OB=5m$、$\angle AOB=120°$のとき、ABの距離(きょり)を求(もと)めよう。

直接(ちょくせつ)測(はか)れないABの距離(きょり)は、余弦(よげん)定理(ていり)で求(もと)められる。$AB^2=3^2+5^2-2\times3\times5\times\cos120°$を計算(けいさん)する。$=9+25-30\times\left(-\dfrac{1}{2}\right)=34+15=49$になる。よって$AB=\mathbf{7m}$。

三角形(さんかくけい)の面積(めんせき)も求(もと)める。$S=\dfrac{1}{2}\times3\times5\times\sin120°$で計算(けいさん)する。$=\dfrac{1}{2}\times15\times\dfrac{\sqrt{3}}{2}$となる。整理(せいり)すると$S=\dfrac{15\sqrt{3}}{4}$m²だ。

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面積(めんせき)の公式(こうしき)S＝(1／2)bc sinAは、底辺(ていへん)×高(たか)さ÷2という面積(めんせき)の考(かんが)え方(かた)そのままだ。高(たか)さだけをsinで言(い)い換(か)えたものにすぎない。

建造物(けんぞうぶつ)や山(やま)を見込(みこ)む角度(かくど)、直接(ちょくせつ)測(はか)れない2地点間(ちてんかん)の距離(きょり)なども、観測(かんそく)地点(ちてん)を頂点(ちょうてん)とする三角形(さんかくけい)を考(かんが)える。すると正弦(せいげん)定理(ていり)・余弦(よげん)定理(ていり)・この面積(めんせき)公式(こうしき)のどれかで計算(けいさん)できる。

三角比(さんかくひ)表(ひょう)や電卓(でんたく)を使(つか)えば、角度(かくど)さえ測(はか)れれば長(なが)さや面積(めんせき)がわかる。これが、測量(そくりょう)の現場(げんば)で三角比(さんかくひ)が使(つか)われている理由(りゆう)。外(そと)心(しん)・内心(ないしん)・重心(じゅうしん)の性質(せいしつ)は数学(すうがく)Aに出(で)てくる。