円(えん)の方程式(ほうていしき)

中学(ちゅうがく)では円(えん)の接線(せっせん)（新しいタブで開きます）や扇形(おうぎがた)（新しいタブで開きます）の弧(こ)の長(なが)さを学(まな)び、数学(すうがく)Aでは図形(ずけい)の性質(せいしつ)として円(えん)を扱(あつか)った。ここでは、円(えん)を座標(ざひょう)平面上(へいめんじょう)の方程式(ほうていしき)として表(あらわ)す。

円(えん)は、ある定点(ていてん)（中心(ちゅうしん)）からの距離(きょり)が一定(いってい)（半径(はんけい)）である点(てん)の集(あつ)まりだ。中心(ちゅうしん)(a,b)、半径(はんけい)rの円上(えんじょう)の点(てん)(x,y)は、距離(きょり)の公式(こうしき)から$\mathbf{(x-a)^2+(y-b)^2=r^2}$を満(み)たす。

この式(しき)を展開(てんかい)すると、x²＋y²＋lx＋my＋n＝0の形(かたち)になることがある。逆(ぎゃく)にこの形(かたち)の式(しき)を見(み)たら、x、yをそれぞれ平方完成(へいほうかんせい)すれば中心(ちゅうしん)と半径(はんけい)が分(わ)かる。

円上(えんじょう)の点(てん)(p,q)における接線(せっせん)は、中心(ちゅうしん)と接点(せってん)を結(むす)ぶ半径(はんけい)に垂直(すいちょく)になるので、$\mathbf{(p-a)(x-a)+(q-b)(y-b)=r^2}$で表(あらわ)せる。例(たと)えば、中心(ちゅうしん)(2,1)、半径(はんけい)5の円上(えんじょう)の点(てん)の一(ひと)つが(5,5)だ。中心(ちゅうしん)からのΔx＝3、Δy＝4を使(つか)うと$\mathbf{3^2+4^2=5^2}$が成(な)り立(た)つ。

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例題(れいだい)：x²＋y²−4x−2y−20＝0はどんな円(えん)か。

xとyをそれぞれ平方完成(へいほうかんせい)すると、$\mathbf{(x-2)^2+(y-1)^2=25}$になり、中心(ちゅうしん)(2,1)、半径(はんけい)5の円(えん)と分(わ)かる。

この円(えん)と直線(ちょくせん)3x＋4y＋15＝0の位置(いち)関係(かんけい)を調(しら)べる。中心(ちゅうしん)(2,1)から直線(ちょくせん)までの距離(きょり)は$d=\dfrac{|6+4+15|}{5}=5$で半径(はんけい)と等(ひと)しいから、直線(ちょくせん)は円(えん)に接(せっ)する。

接点(せってん)は(−1,−3)。公式(こうしき)に当(あ)てはめると$\mathbf{-3(x-2)-4(y-1)=25}$を整理(せいり)して3x＋4y＋15＝0になり、一致(いっち)することが確(たし)かめられる。

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円(えん)と直線(ちょくせん)の位置(いち)関係(かんけい)は、直線(ちょくせん)の式(しき)を円(えん)の式(しき)に代入(だいにゅう)してできる2次(じ)方程式(ほうていしき)の判別式(はんべつしき)の符号(ふごう)で調(しら)べる方法(ほうほう)と、中心(ちゅうしん)から直線(ちょくせん)までの距離(きょり)dと半径(はんけい)rの大小(だいしょう)を比(くら)べる方法(ほうほう)の、2通(とお)りで確(たし)かめられる。D＞0やd＜rなら2点(てん)で交(まじ)わり、D＝0やd＝rなら接(せっ)し、D＜0やd＞rなら共有(きょうゆう)点(てん)がない。

接線(せっせん)が半径(はんけい)に垂直(すいちょく)になる理由(りゆう)は、接点(せってん)で少(すこ)しでも円(えん)の中心(ちゅうしん)側(がわ)に傾(かたむ)くと、直線(ちょくせん)が円(えん)の内部(ないぶ)に入(はい)って2点(てん)で交(まじ)わってしまうからだ。1点(てん)だけで接(せっ)するには、半径(はんけい)に垂直(すいちょく)な向(む)きしかない。