組み合わせ方
ゾウ先生AとBを選ぶのもBとAを選ぶのも同じ組だから、重ねて数えない工夫をしよう。
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- 組み合わせ方は、順番を考えずに選ぶものだけを決める数え方である。
- 対戦表の右上半分だけを使うと、同じ組を2回数えずにすむ。
- 並べ方の数を、同じ組を数えた回数でわると、組み合わせ方の数になる。
詳しく
公式
組み合わせ方は、並べる順番を考えずに、選ぶものだけを決める数え方である。AとBを選ぶことと、BとAを選ぶことは同じ組なので、数えるのは1回だけだ。
組み合わせ方を数える1つの方法は、対戦表（リーグ表）を使うことである。すべての組を表にかいて、A対BとB対Aのような同じ組を斜線で消し、表の右上半分だけを使うと、組の数がちょうど数えられる。
もう1つの方法は、並べ方の数をいったん求めて、同じ組を何回重ねて数えたかでわるやり方だ。2つを選ぶ組み合わせでは、並べ方の数を2でわると、組み合わせ方の数になる。
例題
例題：E・F・G・Hの4チームが総当たり戦をします。EとFの対戦とFとEの対戦は同じ1試合と数えるとき、試合は何通りありますか。対戦表の右上半分を数えると、E-F、E-G、E-H、F-G、F-H、G-Hの6通りになる。
別の例題：正五角形の5つの頂点から2つを選んで線で結ぶと、辺と対角線（新しいタブで開きます）は合わせて何本できますか。頂点をA・B・C・D・Eとし、同じように組を数えると、辺5本と対角（新しいタブで開きます）線5本を合わせて10本になる。
なぜそうなるか
E対FとF対Eは同じ試合なので、対戦表では片方だけを使う。表の右上半分だけを○にするのは、同じ組を2回数えないための工夫である。
並べ方で数えると、E・Fの2つを選ぶ並べ方はEF、FEの2通りあるが、組み合わせ方ではこの2通りは同じ1組だ。だから、4チームから2チームを選ぶ並べ方の数4×3＝12を2でわると、組み合わせ方は6通りになる。
頂点を結ぶ図でも、AとBを結ぶ線とBとAを結ぶ線は同じ1本なので、対戦表と同じ考え方で数えられる。
確認問題
確認問題（解答用紙）
スマホやタブレットで読み取ると、この問題をその場で解けます。
https://manazoo.com/math/meaning-of-combinations/?from=print#quiz
A対BとB対Aのような同じ試合を1回だけ数えるために、対戦表で使う部分はどれですか。
- ◯ 表の対角線だけ
- ◯ 表の右上半分だけ
- ◯ 表の全部
- ◯ 表の左下半分だけ
正解：表の右上半分だけ
対戦表の右上半分だけを使うと、同じ組を2回数えずにすむ。A・B・C・D・Eの5チームが総当たり戦をします。AとBの対戦とBとAの対戦は同じ1試合と数えるとき、試合は何通りありますか。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：10
対戦表の右上半分を数えると、Aは4試合、Bは残り3試合、Cは2試合、Dは1試合で、4＋3＋2＋1＝10通りになる。正六角形の6つの頂点から2つを選んで線を結ぶとき、辺と対角線を合わせた組み合わせは何通りですか。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：15
6つの頂点から2つを選ぶ組み合わせの数で、6×5÷2＝15通り。次のうち、組み合わせ方（順番を考えない数え方）を使う場面はどれですか。
- ◯ 総当たり戦の対戦の組を数える
- ◯ 3人のリレーの走る順番を決める
- ◯ 4枚のカードで整数をつくる
- ◯ 1番目から3番目までの順位を決める
正解：総当たり戦の対戦の組を数える
対戦の組は、どちらが先でも同じ1組なので、組み合わせ方で数える。
単元のポイント
- 組み合わせ方 並べる順番を考えずに、選ぶものだけを決める数え方
- 対戦表の右上半分 同じ組を2回数えないように、表の片側だけを使う工夫