多角形の角の大きさの和
ゾウ先生1つの頂点から対角線をひいて、三角形に分けてみよう。
30秒でつかむ
- 多角形は、1つの頂点からほかの頂点へ対角線（新しいタブで開きます）をひくと、三角形（新しいタブで開きます）に分けられる。
- 五角形は三角形3つに分かれて180×3＝540°、六角形は三角形4つに分かれて180×4＝720°になる。
- 表で辺の数と三角形の数を比べると、辺が1つ増えると三角形の数も1つ増える。
詳しく
三角形に分けて求める
五角形の1つの頂点から、となり合わない頂点へ対角線をひくと、五角形は三角形3つに分けられる。三角形1つの角の大きさの和は180°なので、五角形の角の大きさの和は180×3＝540°だ。
六角形も同じように、1つの頂点から対角線をひくと、三角形4つに分けられる。角の大きさの和は180×4＝720°である。
辺の数と三角形の数
辺の数と、1つの頂点から分けられる三角形の数を表にすると、きまりが見えてくる。三角形は3辺で三角形1つ、四角形は4辺で三角形2つ、五角形は5辺で三角形3つ、六角形は6辺で三角形4つだ。辺の数が1つ増えると、三角形の数も1つ増えている。
このきまりを使うと、七角形は三角形5つに分かれるので、角の大きさの和は180×5＝900°だと分かる。
なぜそうなるか
1つの頂点からひける対角線は、自分自身ととなりの2つの頂点には引けないので、残りの頂点の数だけひける。対角線の本数が増えるほど、分けられる三角形の数も増えていく。
どんな多角形でも、1つの頂点から三角形に分けてから180×三角形の数を計算すれば、角の大きさの和を求められる。
確認問題
確認問題（解答用紙）
スマホやタブレットで読み取ると、この問題をその場で解けます。
https://manazoo.com/math/polygon-angle-sum-by-triangles/?from=print#quiz
九角形の角の大きさの和は何度ですか。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：1260
1つの頂点から対角線（新しいタブで開きます）で分けると、三角形（新しいタブで開きます）は辺の数より2少ない7つできる。180×7＝1260より、九角形の角の大きさの和は1260°である。十角形の角の大きさの和は何度ですか。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：1440
1つの頂点から対角線で分けると、三角形は辺の数より2少ない8つできる。180×8＝1440より、十角形の角の大きさの和は1440°である。十二角形の角の大きさの和は何度ですか。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：1800
1つの頂点から対角線で分けると、三角形は辺の数より2少ない10個できる。180×10＝1800より、十二角形の角の大きさの和は1800°である。十一角形を1つの頂点から対角線で三角形に分けると、三角形はいくつできますか。
- ◯ 8個
- ◯ 9個
- ◯ 10個
- ◯ 11個
正解：9個
五角形が3つ・六角形が4つ・七角形が5つのように、三角形の数は辺の数より2少ない。十一角形は11－2＝9より、9個になる。
単元のポイント
- 対角線（新しいタブで開きます） 多角形の、となり合わない2つの頂点を結ぶ直線