三平方の定理の利用：座標の距離・空間図形の対角線
ゾウ先生2点間の距離も空間の対角線も、結局は直角三角形を見つける問題だよ。
30秒でつかむ
- 座標上の2点間の距離は、x座標の差とy座標の差を直角をはさむ2辺とする直角三角形の斜辺（新しいタブで開きます）として求められる。
- 直方体の対角線の長さは、縦・横・高さを使って√(縦²＋横²＋高さ²)で求められる。
- 直方体の対角線を求めるには、底面の対角（新しいタブで開きます）線を求めてから、もう一度三平方の定理（新しいタブで開きます）を使う（2段階）。
詳しく
公式
座標上の2点、間の距離は、x座標の差とy座標の差を直角をはさむ2辺とする直角三角形の斜辺として、三平方の定理で求められる。
縦a、横b、高さcの直方体の対角線の長さは、で求められる。
1辺がaの立方体の対角線の長さは、になる。
例題
例題：2点A(1, 2)、B(4, 6)の間の距離を求めよう。
x座標の差は、y座標の差は。この3と4を直角をはさむ2辺とする直角三角形を考える。
三平方の定理より、距離はになる。
なぜそうなるか
座標上の2点間の距離は、x軸に平行な辺とy軸に平行な辺でできる直角三角形の斜辺にあたる。だから三平方の定理がそのまま使えるというわけだ。
直方体の対角線は、まず底面の対角線（縦と横から三平方の定理で求める）を考え、その対角線と高さからもう一度三平方の定理を使う、という2段階の計算になる。
立方体はすべての辺が同じ長さaなので、対角線はと簡単な形にまとまる。
確認問題
確認問題（解答用紙）
スマホやタブレットで読み取ると、この問題をその場で解けます。
https://manazoo.com/math/pythagorean-theorem-applications/?from=print#quiz
2点A(1, 2)、B(4, 6)の間の距離は何か。数字で答えよう。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：5
x座標の差は4－1＝3、y座標の差は6－2＝4。三平方の定理（新しいタブで開きます）より距離は√(3²＋4²)＝√25＝5。2点P(0, 0)、Q(8, 15)の間の距離は何か。数字で答えよう。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：17
x座標の差は8、y座標の差は15。距離は√(8²＋15²)＝√289＝17。縦3cm、横4cm、高さ12cmの直方体の対角線の長さはどれか。
- ◯ 12cm
- ◯ 13cm
- ◯ 14cm
- ◯ 15cm
正解：13cm
直方体の対角線は√(縦²＋横²＋高さ²)で求められる。√(3²＋4²＋12²)＝√169＝13cm。1辺が6cmの立方体の対角線の長さは□√3 cmになる。□に入る数を答えよう。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：6
立方体の対角線は1辺の√3倍になる。1辺が6cmなので、対角（新しいタブで開きます）線は6√3 cmになる。直方体の対角線の長さを求めるとき、三平方の定理を何回使うか。
- ◯ 3回
- ◯ 2回（底面の対角線→立体の対角線）
- ◯ 1回
- ◯ 使わない
正解：2回（底面の対角線→立体の対角線）
まず底面の対角線を三平方の定理で求め、その対角線と高さからもう一度三平方の定理を使って立体の対角線を求める。合計2回使う。
単元のポイント
- 座標上の2点間の距離 x座標の差とy座標の差から、三平方の定理で求める
- 直方体の対角線 縦・横・高さから√(縦²＋横²＋高さ²)で求める
- 立方体の対角線 1辺の長さの√3倍になる