放物線と直線
ゾウ先生交点を求める式は、放物線の式と直線の式を＝でつなぐだけ。あとは見慣れた二次方程式だ。
30秒でつかむ
- 放物線（新しいタブで開きます）y＝ax²と直線y＝mx＋nの交点は、ax²＝mx＋nという二次方程式を解いて求める。
- 二次方程式の解は多くても2つなので、放物線と直線の交点も多くても2個になる。
- 放物線y＝ax²上の2点、x＝p、x＝qを通る直線の傾き（新しいタブで開きます）は、変化の割合（新しいタブで開きます）と同じa(p＋q)で求められる。
詳しく
公式
放物線y＝ax²と直線y＝mx＋nの交点は、2つの式のyが等しいと考えて、ax²＝mx＋nを解けば求まる。
整理するとax²−mx−n＝0という二次方程式になり、これを解けば交点のx座標がわかる。
放物線y＝ax²上の2点、x＝p、x＝qを通る直線の傾きは、変化の割合と同じ式a(p＋q)で求められる。
例題
例題：y＝x²とy＝x＋2の交点を求めよう。
x²＝x＋2より、x²−x−2＝0。因数分解（新しいタブで開きます）すると(x−2)(x＋1)＝0なので、x＝2, −1。
x＝2のときy＝4、x＝−1のときy＝1なので、交点は(2, 4)と(−1, 1)の2点になる。
交点のy座標は、どちらの式（放物線でも直線でも）に代入しても同じ値になるので、計算しやすい式を選べばよい。
なぜそうなるか
放物線と直線の交点では、2つの式が同時に成り立つ。つまり、同じxに対して同じyの値をとる点だ。
だから、ax²とmx＋nを等号でつないだax²＝mx＋nが、交点のx座標を求める式になる。これは見慣れたxの2乗を含む二次方程式そのものだ。
二次方程式の解は多くても2つしかないので、放物線と直線の交点も多くても2個。直線が放物線の外側を通れば交点は0個、ちょうど接すれば1個になる。
確認問題
確認問題（解答用紙）
スマホやタブレットで読み取ると、この問題をその場で解けます。
https://manazoo.com/math/parabola-and-line/?from=print#quiz
y＝x²とy＝x＋2の交点のx座標はどれか。
- ◯ x＝2, 1
- ◯ x＝−2, 1
- ◯ x＝−2, −1
- ◯ x＝2, −1
正解：x＝2, −1
x²＝x＋2より、x²−x−2＝0。因数分解（新しいタブで開きます）すると(x−2)(x＋1)＝0なので、x＝2, −1。y＝x²とy＝x＋2の交点のうち、x座標が大きい方のy座標を、数字で答えよう。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：4
x座標が大きい方はx＝2。y＝x²に代入すると、y＝2²＝4。y＝2x²のグラフ上の2点、x＝1とx＝4を通る直線の傾きを、数字で答えよう。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：10
傾き（新しいタブで開きます）はa(p＋q)で求められる。a＝2、p＝1、q＝4なので、2×(1＋4)＝10。放物線と直線の交点の個数として、起こらないものはどれか。
- ◯ 0個
- ◯ 1個
- ◯ 2個
- ◯ 3個
正解：3個
交点は二次方程式ax²＋bx＋c＝0の解に対応する。二次方程式の解は多くても2つなので、3個になることは無い。y＝x²とy＝2x＋3の交点のx座標のうち、大きい方を、数字で答えよう。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：3
x²＝2x＋3より、x²−2x−3＝0。因数分解すると(x−3)(x＋1)＝0なので、x＝3, −1。大きい方は3。
単元のポイント
- 交点 放物線と直線のグラフが交わる点
- 連立 2つの式を同時に成り立たせること。ax²＝mx＋nの形にして解く
- 傾き（新しいタブで開きます） 直線の式y＝mx＋nのmのこと。放物線上の2点を通る直線でも求められる
- 放物線（新しいタブで開きます） y＝ax²のグラフのような、なめらかな曲線
- 二次方程式 放物線と直線の交点を求めるときに出てくる、xの2乗を含む方程式