集合(しゅうごう)の要素(ようそ)の個数(こすう)

数学(すうがく)Ⅰの集合(しゅうごう)と集合(しゅうごう)の演算(えんざん)（新しいタブで開きます）で学(まな)んだ∩（共通(きょうつう)部分(ぶぶん)）・∪（和集合(わしゅうごう)）・補(ほ)集合(しゅうごう)の記号(きごう)を、ここでは要素(ようそ)の個数(こすう)を数(かぞ)えるために使(つか)おう。集合(しゅうごう)$A$に入(はい)っている要素(ようそ)の個数(こすう)を$n(A)$と書(か)く。

$A$と$B$の少(すく)なくとも一方(いっぽう)に入(はい)る要素(ようそ)の個数(こすう)を、和集合(わしゅうごう)の要素(ようそ)の個数(こすう)という。それは$n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)$で求(もと)められる。$A$と$B$の両方(りょうほう)に入(はい)る要素(ようそ)を2回数(かいすう)えてしまう分(ぶん)を、最後(さいご)に1回(かい)だけ引(ひ)く。

$A$と$B$に共通(きょうつう)の要素(ようそ)がないとき（$A\cap B=\emptyset$）は、引(ひ)く部分(ぶぶん)が0なので$n(A\cup B)=n(A)+n(B)$になる。全体(ぜんたい)集合(しゅうごう)を$U$とすると、$A$に入(はい)らない要素(ようそ)（$A$の補(ほ)集合(しゅうごう)）の個数(こすう)は$n(U)-n(A)$で求(もと)められる。

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例題(れいだい)：1から100までの自然数(しぜんすう)のうち、3の倍数(ばいすう)（新しいタブで開きます）の集合(しゅうごう)を$A$、5の倍数(ばいすう)の集合(しゅうごう)を$B$とする。$n(A)$、$n(B)$、$n(A\cap B)$、$n(A\cup B)$を求(もと)めよう。

3の倍数(ばいすう)は3、6、9、…、99の33個(こ)なので、$n(A)$は$\mathbf{33}$だ。5の倍数(ばいすう)は5、10、…、100の20個(こ)なので、$n(B)$は$\mathbf{20}$になる。

3と5の両方(りょうほう)の倍数(ばいすう)、つまり15の倍数(ばいすう)は15、30、…、90の6個(こ)ある。だから、両方(りょうほう)に入(はい)る要素(ようそ)の個数(こすう)$n(A\cap B)$は$\mathbf{6}$だ。

公式(こうしき)にあてはめると、$n(A\cup B)=33+20-6=\mathbf{47}$になる。1から100までで3の倍数(ばいすう)でも5の倍数(ばいすう)でもない数(かず)は、全体(ぜんたい)から引(ひ)いて$100-47=\mathbf{53}$個(こ)だ。

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なぜ$n(A\cap B)$を引(ひ)くのか、図(ず)で確(たし)かめよう。

$n(A)$を数(かぞ)えるとき、$A\cap B$の部分(ぶぶん)もいっしょに数(かぞ)えている。

$n(B)$を数(かぞ)えるときも、同(おな)じ$A\cap B$の部分(ぶぶん)をもう一度(いちど)数(かぞ)えてしまう。

つまり$n(A)+n(B)$の中(なか)では、$A\cap B$の要素(ようそ)が2回(かい)ずつ数(かぞ)えられている。

だから最後(さいご)に$n(A\cap B)$を1回(かい)だけ引(ひ)けば、どの要素(ようそ)もちょうど1回(かい)だけ数(かぞ)えたことになる。

$A$の要素(ようそ)のうち、$B$にも入(はい)る部分(ぶぶん)を除(のぞ)けば、$A$だけに入(はい)る要素(ようそ)の個数(こすう)が求(もと)まる。それは$n(A)-n(A\cap B)$という引(ひ)き算(ざん)だ。

補(ほ)集合(しゅうごう)の公式(こうしき)も、同(おな)じ考(かんが)え方(かた)で説明(せつめい)できる。

全体(ぜんたい)集合(しゅうごう)$U$は、$A$に入(はい)る部分(ぶぶん)と、入(はい)らない部分(ぶぶん)（$A$の補(ほ)集合(しゅうごう)）のちょうど2つに分(わ)かれる、という見方(みかた)だ。

だから$n(U)$から$n(A)$を引(ひ)けば、補(ほ)集合(しゅうごう)の個数(こすう)$n(U)-n(A)$が残(のこ)る。