二次方程式を因数分解・平方根で解く
ゾウ先生まず因数分解できるか試そう。できなければ平方の形に直す方法を使おう。
30秒でつかむ
- 二次方程式は、因数分解（新しいタブで開きます）できれば(x−m)(x−n)＝0の形にして、x＝m, nと解ける。
- 「AB＝0ならば、A＝0またはB＝0」という性質を使い、一次方程式に帰着させるのが因数分解による解法。
- x²＝kや(x＋m)²＝kの形なら、平方根（新しいタブで開きます）の考えを使ってx＝±√k、x＝−m±√kと解ける。
詳しく
公式
二次方程式を解く方法は、大きく2つある。
①因数分解によっての形に変形し、「AB＝0ならばA＝0またはB＝0」を使う方法。
②等式の変形（新しいタブで開きます）で（）の形を導き、とする方法。なら、になる。
例題
例題：とを解こう。
は、かけて6・たして5になる2数2と3を使い、。だから。
は、平方根の考えを使って。なので、になる。
因数分解できる式は①の方法が速い。できない式やの形は②の方法を使う。
なぜそうなるか
連立方程式を「1つの文字を消去して一元一次方程式に帰着させる」のと同じように、二次方程式は「次数を減らして一元一次方程式に帰着させる」と考えられる。
①の方法は、の形にできれば、AB＝0の性質で一次方程式とに分けられる。
②の方法は、の形にできれば、平方根の考えでXの値が求まる。因数分解しにくい式でも使いやすい。
二次方程式の解は一般に2つある。これは一元一次方程式や連立方程式と違う、二次方程式ならではの特徴だ。
確認問題
確認問題（解答用紙）
スマホやタブレットで読み取ると、この問題をその場で解けます。
https://manazoo.com/math/solving-quadratic-by-factoring/?from=print#quiz
x²−5x＋6＝0の解はどれか。
- ◯ x＝−1, −6
- ◯ x＝−2, −3
- ◯ x＝2, 3
- ◯ x＝1, 6
正解：x＝2, 3
左辺を因数分解（新しいタブで開きます）すると(x−2)(x−3)＝0。AB＝0ならA＝0またはB＝0なので、x＝2, 3になる。x²＝9の解はどれか。
- ◯ x＝9, −9
- ◯ x＝3, −3
- ◯ x＝81, −81
- ◯ x＝3だけ
正解：x＝3, −3
x²＝k（k≧0）の形なので、x＝±√9＝±3。だから解はx＝3, −3の2つ。x²−9x＋14＝0を因数分解して解くと、小さい方の解は何か。数字で答えよう。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：2
かけて14、たして9になる2数は2と7。(x−2)(x−7)＝0より、x＝2, 7。小さい方は2。(x＋3)²＝25の解はどれか。
- ◯ x＝8, −2
- ◯ x＝2, −8
- ◯ x＝5, −5
- ◯ x＝−3, 25
正解：x＝2, −8
x＋3＝±5より、x＋3＝5でx＝2、x＋3＝−5でx＝−8。だから解はx＝2, −8。二次方程式を因数分解で解くときに使う性質はどれか。
- ◯ AB＝1ならば、A＝1またはB＝1
- ◯ A＝Bならば、A＝0
- ◯ AB＝0ならば、A＝0またはB＝0
- ◯ A＋B＝0ならば、A＝0かつB＝0
正解：AB＝0ならば、A＝0またはB＝0
「AB＝0ならば、A＝0またはB＝0」という性質を使って、一次方程式に帰着させる。
単元のポイント
- 二次方程式 xの2乗の項を含む方程式。解が2つあることが多い
- 因数分解による解法 左辺を因数分解し、AB＝0の性質を使って解く方法
- 平方根による解法 x²＝kの形にして、平方根の考えで解く方法
- 解 方程式を成り立たせる文字の値
- 二次方程式の解の個数 一般に2つあるが、重なって1つになることもある