空間(くうかん)座標(ざひょう)と空間(くうかん)ベクトル

空間(くうかん)に原点(げんてん)Oと、互(たが)いに垂直(すいちょく)なx軸(じく)、y軸(じく)、z軸(じく)をとる。

空間(くうかん)の点(てん)Pは、座標(ざひょう)(x,y,z)で表(あらわ)せる。

点(てん)Pの位置(いち)ベクトル（新しいタブで開きます）を$\vec{p}=(x,y,z)$と書(か)く。

空間(くうかん)ベクトル$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)$を考(かんが)えよう。

大(おお)きさは$|\vec{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$になる。

成分(せいぶん)の計算(けいさん)は平面(へいめん)のときと同(おな)じように行(おこな)う。

$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)$、$\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)$とする。

このとき$\vec{a}+\vec{b}=(a_1+b_1,a_2+b_2,a_3+b_3)$になる。

内積(ないせき)も同(おな)じように$\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$になる。

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例題(れいだい)：$\vec{a}=(2,-1,2)$の大(おお)きさを求(もと)めよ。

公式(こうしき)に当(あ)てはめよう。$|\vec{a}|=\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}$になる。

$\sqrt{4+1+4}=\sqrt{9}=3$なので、求(もと)める大(おお)きさは3になる。

空間(くうかん)での大(おお)きさの式(しき)が、なぜ成分(せいぶん)の2乗(じょう)の和(わ)になるか考(かんが)えよう。

点(てん)$A(a_1,a_2,0)$をとる。

xy平面上(へいめんじょう)で、Oからの距離(きょり)は$\sqrt{a_1^2+a_2^2}$になる。

次(つぎ)に、点(てん)$P(a_1,a_2,a_3)$までの距離(きょり)を考(かんが)えよう。

OA、APを2辺(へん)とする直角(ちょっかく)三角形(さんかくけい)OAPができる。

三(さん)平方(へいほう)の定理(ていり)（新しいタブで開きます）より$|\vec{a}|^2=(\sqrt{a_1^2+a_2^2})^2+a_3^2$になる。

整理(せいり)すると$|\vec{a}|^2=a_1^2+a_2^2+a_3^2$が求(もと)まった。

よって$|\vec{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$になる。

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