関数の増減と極値
ゾウ先生f′(a)＝0でも、符号が変わらなければ極値ではないよ。増減表で符号の変化まで確かめよう。
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- f′(x)＞0の区間でf(x)は増加し、f′(x)＜0の区間でf(x)は減少する。
- f′(x)の符号が＋から－に変わる点で極大値、－から＋に変わる点で極小値をとる。
- 増減表を作ると、極大・極小の値とグラフのおおまかな形が分かる。
詳しく
公式
中学で一次関数の変化の割合（新しいタブで開きます）が一定であること、関数y＝ax²の変化の割合が一定でないことを学んだ。導関数を使うと、どんな関数の増加・減少も符号で判定できる。の区間ではf(x)は増加し、の区間では減少する。
f′(x)の符号が＋から－に変わる点では、f(x)はその点の前後で増加から減少に転じるので、そこでの値を極大値という。逆に－から＋に変わる点での値を極小値という。x、f′(x)の符号、f(x)の増減を1つの表にまとめたものが増減表だ。
ただし、f′(a)＝0だからといって必ず極値になるとは限らない。前後でf′(x)の符号が変わらなければ、その点は極大でも極小でもない。
例題
例題：y＝x³−3xの増減を調べ、極値を求めよ。
f′(x)＝3x²−3＝3(x−1)(x+1)なので、f′(x)＝0となるのはx＝−1, 1。増減表を作ると、x＝−1の前後で＋から－に変わるので極大値f(−1)＝2、x＝1の前後で－から＋に変わるので極小値f(1)＝−2。グラフは、左から増加して(−1, 2)で折り返し、減少して(1, −2)で再び折り返して増加する形になる。
なぜそうなるか
導関数のグラフと元の関数のグラフを見比べると、増減の仕組みがよく分かる。y＝x³−3xの導関数f′(x)＝3x²−3は下に凸の放物線（新しいタブで開きます）で、−1＜x＜1でf′(x)＜0になる。この区間だけ、元のグラフが減少しているのが対応している。
y＝x³で確かめると、f′(x)＝3x²はx＝0以外では必ず正なので、f(x)は常に増加の状態だ。x＝0でf′(0)＝0になるが、前後でf′(x)の符号は＋のまま変わらないので、x＝0は極値ではない。
確認問題
確認問題（解答用紙）
スマホやタブレットで読み取ると、この問題をその場で解けます。
https://manazoo.com/math/function-increase-decrease-and-extrema/?from=print#quiz
f(x)＝x³−3x のx＝2におけるようすとして正しいものはどれか。
- ◯ 増加している
- ◯ 極小である
- ◯ 減少している
- ◯ 極大である
正解：増加している
f′(x)＝3x²−3なので、f′(2)＝12−3＝9＞0。f′(x)＞0の区間なので、x＝2でf(x)は増加している。g(x)＝x³−3x² の極小値を求めよ。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：−4
g′(x)＝3x²−6x＝3x(x−2)より、g′(x)＝0はx＝0, 2。増減表を作ると、x＝0の前後で＋から－に変わり極大、x＝2の前後で－から＋に変わり極小。極小値はg(2)＝8−12＝−4。y＝x³−3x で、f′(x)＜0となるxの範囲はどれか。
- ◯ x＜−1 または x＞1
- ◯ x＞1
- ◯ −1＜x＜1
- ◯ x＜−1
正解：−1＜x＜1
f′(x)＝3x²−3＝3(x−1)(x+1)＜0を解くと、−1＜x＜1。この区間でf(x)は減少する。y＝x³ について、x＝0でのようすとして正しいものはどれか。
- ◯ f′(0)は0にならない
- ◯ x＝0で極大になる
- ◯ x＝0で極小になる
- ◯ f′(0)＝0だが極値ではない
正解：f′(0)＝0だが極値ではない
f′(x)＝3x²はx＝0でf′(0)＝0になるが、x＝0の前後でf′(x)の符号は＋のまま変わらない。符号が変わらないので、x＝0は極値ではない。
単元のポイント
- 増減表 f′(x)の符号から関数の増加・減少をまとめた表
- 極大値・極小値 f′(x)の符号が＋から－、－から＋に変わる点での値
- グラフの概形 増減表から、曲線のおおまかな形がかける