速度・加速度と近似式
ゾウ先生近似式は「接線で曲線を代用する」考え方そのもの。Δxが小さいほど、接線と曲線の高さの差は小さくなるよ。
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- 直線上を動く点の位置x(t)を微分すると速度v(t)、速度をもう一度微分すると加速度a(t)になる。
- v(t)＝0になる時刻は、点の動く向きが変わる（一瞬止まる）瞬間を表す。
- xの変化Δxが小さいとき、yの変化はΔy≈f′(x)Δxで見積もれる（一次の近似式）。
詳しく
公式
直線上を動く点の時刻tでの位置をx(t)とすると、これを微分したが速度、速度をもう一度微分したが加速度になる。
微分係数f′(x)は、xの増分Δxに対するyの増分Δyの比の近似だったことを思い出すと、Δxが十分小さいときという近似式が使える。
この近似式は、f(x＋Δx)≈f(x)＋f′(x)Δxという形でも使える。接線（新しいタブで開きます）の式で、実際の曲線の値を見積もる方法だ。
例題
例題：直線上を動く点の位置がx(t)＝t³−6t²＋9tのとき、速度v(t)と加速度a(t)を求め、t＝1、3での値を求めよ。
v(t)＝x′(t)＝3t²−12t＋9。v(1)＝3−12＋9＝0、v(3)＝27−36＋9＝0で、どちらも一瞬止まる。a(t)＝v′(t)＝6t−12なので、a(1)＝−6、a(3)＝6になる。
近似式の例：1辺1.00cmの立方体の各辺を0.03cmずつ長くしたときの体積の増え方を見積もる。f(x)＝x³、f′(x)＝3x²とすると、f′(1)＝3なので、。もとの体積1cm³に加えると、約1.09cm³になる（実際の値(1.03)³＝1.0927…cm³とほぼ一致）。
なぜそうなるか
v(t)＝0になる時刻t＝1、3は、速度の符号が＋から−、または−から＋に変わる瞬間で、点が動く向きを変える瞬間に対応する。これは、関数の増減でf′(x)の符号が変わる点（極大・極小）と同じ考え方だ。
近似式Δy≈f′(x)Δxが成り立つのは、xの近くでは曲線y＝f(x)が接線にほとんど重なって見えるからだ。接線の方程式（新しいタブで開きます）y−f(a)＝f′(a)(x−a)で、x−a＝Δx、y−f(a)＝Δyと置きかえると、この近似式になる。
もう一つ：f(x)＝x²、f′(x)＝2xとして、x＝2での(2.01)²を近似式で見積もると、f′(2)＝4なのでより、4＋0.04＝4.04。実際の値4.0401と比べても、十分近い見積もりになっている。
確認問題
確認問題（解答用紙）
スマホやタブレットで読み取ると、この問題をその場で解けます。
https://manazoo.com/math/velocity-acceleration-and-approximation/?from=print#quiz
位置x(t)＝t³−6t²＋9tで動く点の加速度a(t)を求め、a(2)の値を求めよ。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：0
v(t)＝3t²−12t＋9なので、a(t)＝v′(t)＝6t−12。a(2)＝6×2−12＝0。f(x)＝x²の近似式Δy≈f′(x)Δxを使って、x＝2付近での(2.01)²の値を見積もれ。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：4.04
f′(2)＝4なので、Δy≈4×0.01＝0.04。f(2)＝4に加えると、(2.01)²≈4＋0.04＝4.04。位置x(t)＝t³−6t²＋9tで動く点の速度v(t)が0になる時刻t（0＜t）はどれか。
- ◯ t＝1、3
- ◯ t＝1のみ
- ◯ t＝3のみ
- ◯ t＝0、2
正解：t＝1、3
v(t)＝3t²−12t＋9＝3(t−1)(t−3)＝0より、t＝1、3。どちらも点が一瞬止まり、動く向きが変わる時刻。近似式Δy≈f′(x)Δxが成り立つ理由として正しいものはどれか。
- ◯ yの値がxの値に比例するから
- ◯ xの近くでは曲線が接線にほとんど重なって見えるから
- ◯ f′(x)が必ず一定の値になるから
- ◯ Δxがどんな大きさでも誤差が0になるから
正解：xの近くでは曲線が接線にほとんど重なって見えるから
接線の方程式（新しいタブで開きます）y−f(a)＝f′(a)(x−a)で、x−a＝Δx、y−f(a)＝Δyと置きかえると近似式になる。Δxが小さいほど、曲線と接線（新しいタブで開きます）のずれは小さくなる。
単元のポイント
- 速度v(t) 位置x(t)の導関数x′(t)
- 加速度a(t) 速度v(t)の導関数、位置の第二次導関数（新しいタブで開きます）x″(t)
- 近似式 Δy≈f′(x)Δx（Δxが小さいとき）