関数の凹凸と変曲点
ゾウ先生増減はf′の符号、凹凸はf″の符号で見る。2つを一緒に調べると、グラフの形がかなり正確に分かるよ。
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- 導関数f′(x)をもう一度微分した関数を第二次導関数f″(x)という。
- f″(x)＞0の区間でグラフは下に凸、f″(x)＜0の区間では上に凸になる。
- f″(x)の符号が変わる点を変曲点という。極大・極小とは別の、グラフの曲がり方が変わる点だ。
詳しく
公式
導関数f′(x)の増減（f′の符号）だけでなく、f′(x)をもう一度微分した第二次導関数f″(x)を調べると、グラフの曲がり方まで分かる。
f″(x)＞0の区間では、接線の傾き（新しいタブで開きます）が増えていくのでグラフは下に凸（谷のような形）、f″(x)＜0の区間では接線の傾きが減っていくのでグラフは上に凸（山のような形）になる。
f″(x)の符号が＋から−、または−から＋に変わる点を変曲点という。極大・極小（f′の符号が変わる点）とは違う、凹凸が切り替わる点だ。
例題
例題：f(x)＝x³−3x²の増減・凹凸を調べ、極値と変曲点を求めよ。
f′(x)＝3x²−6x＝3x(x−2)＝0よりx＝0、2。f′の符号を調べると、x＝0で極大（f(0)＝0）、x＝2で極小（f(2)＝8−12＝−4）になる。
f″(x)＝6x−6＝0よりx＝1。x＜1でf″(x)＜0（上に凸）、x＞1でf″(x)＞0（下に凸）なので、x＝1で凹凸が切り替わる。f(1)＝1−3＝−2なので、変曲点は(1, −2)になる。
なぜそうなるか
f″(x)＞0は「f′(x)が増えている」という意味だ。接線の傾きが左から右へ増えていくと、グラフは下に凸になる。下側から支えられるような形だとイメージすればよい。f″(x)＜0ならこの逆で上に凸になる。
この例では、極大点x＝0と極小点x＝2のちょうど中間のx＝1が変曲点になっている。変曲点は極大・極小の点そのものではなく、曲がり方だけが変わる点であることに注意しよう。
分数関数や指数関数のグラフをかくときは、凹凸に加えて、グラフが限りなく近づいていく直線（漸近線（新しいタブで開きます））も調べることが多い。f′とf″の符号表に漸近線の情報を合わせると、グラフの概形（新しいタブで開きます）がより正確に分かる。
確認問題
確認問題（解答用紙）
スマホやタブレットで読み取ると、この問題をその場で解けます。
https://manazoo.com/math/concavity-and-inflection-points/?from=print#quiz
f(x)＝x³−3x²の第二次導関数f″(x)を求め、f″(2)の値を求めよ。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：6
f′(x)＝3x²−6xなので、f″(x)＝6x−6。f″(2)＝6×2−6＝6。f(x)＝x³−3x²の変曲点のx座標を求めよ。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：1
f″(x)＝6x−6＝0を解くとx＝1。x＝1の前後でf″の符号が変わるので、x＝1が変曲点のx座標になる。f″(x)＞0の区間で、グラフの凹凸はどうなるか。
- ◯ 増加
- ◯ 下に凸
- ◯ 上に凸
- ◯ 減少
正解：下に凸
f″(x)＞0は接線の傾き（新しいタブで開きます）が増えていくことを表し、このときグラフは下に凸（谷のような形）になる。f(x)＝x³−3x²の変曲点はどれか。
- ◯ (1, −2)
- ◯ (2, −4)
- ◯ (0, 0)
- ◯ (1, 0)
正解：(1, −2)
f″(x)＝0となるx＝1で凹凸が切り替わる。f(1)＝1−3＝−2なので、変曲点は(1, −2)。
単元のポイント
- 第二次導関数f″(x) f′(x)をもう一度微分した関数
- 下に凸・上に凸 f″(x)＞0で下に凸、f″(x)＜0で上に凸
- 変曲点 f″(x)の符号が変わる点