凸(とつ)レンズの写像公式(しゃぞうこうしき)

凸(とつ)レンズの前方(ぜんぽう)に物体(ぶったい)距離(きょり)$a$で物体(ぶったい)を置(お)くと、レンズを通(とお)った光(ひかり)が集(あつ)まって像(ぞう)ができる。レンズの焦点(しょうてん)距離(きょり)を$f$、できる像(ぞう)までの距離(きょり)を$b$とすると、$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{f}$（写像公式(しゃぞうこうしき)）が成(な)り立(た)つ。像(ぞう)の大(おお)きさが物体(ぶったい)の何倍(なんばい)かを表(あらわ)す倍率(ばいりつ)は$m=\dfrac{b}{a}$で求(もと)められる。

物体(ぶったい)を焦点(しょうてん)より外側(そとがわ)（$a>f$）に置(お)くと、$b$は正(せい)の値(あたい)になる。これはレンズを通(とお)った光(ひかり)が反対(はんたい)側(がわ)で実際(じっさい)に集(あつ)まってできる実像(じつぞう)で、上下左右(じょうげさゆう)が逆転(ぎゃくてん)した倒立(とうりつ)の像(ぞう)になり、スクリーンに映(うつ)すことができる。カメラや映画(えいが)の映写機(えいしゃき)は、この実像(じつぞう)を利用(りよう)した道具(どうぐ)だ。

物体(ぶったい)を焦点(しょうてん)より内側(うちがわ)（$a<f$）に置(お)くと、計算上(けいさんじょう)$b$は負(ふ)の値(あたい)になる。これは光(ひかり)が実際(じっさい)に集(あつ)まるのではなく、光(ひかり)を逆(ぎゃく)にたどった先(さき)に見(み)える虚像(きょぞう)で、物体(ぶったい)と同(おな)じ側(がわ)に、物体(ぶったい)より大(おお)きく、向(む)きも変(か)わらない正立(せいりつ)の像(ぞう)として見(み)える。ルーペ（拡大鏡(かくだいきょう)）はこの虚像(きょぞう)を利用(りよう)している。

この写像公式(しゃぞうこうしき)と同(おな)じ形(かたち)の関係(かんけい)は、凹面鏡(おうめんきょう)でできる像(ぞう)にも成(な)り立(た)つ。鏡(かがみ)では光(ひかり)が反射(はんしゃ)（新しいタブで開きます）して集(あつ)まるか、反射(はんしゃ)した光(ひかり)を逆(ぎゃく)にたどった先(さき)に虚像(きょぞう)ができるかで、実像(じつぞう)・虚像(きょぞう)の見分(みわ)け方(かた)はレンズと同(おな)じように考(かんが)えられる。

例題(れいだい)1：焦点(しょうてん)距離(きょり)10cmの凸(とつ)レンズの前方(ぜんぽう)30cmに物体(ぶったい)を置(お)いた。像(ぞう)の位置(いち)bと倍率(ばいりつ)mを求(もと)めよ。$\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{f}-\dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{10}-\dfrac{1}{30}=\dfrac{3}{30}-\dfrac{1}{30}=\dfrac{2}{30}=\dfrac{1}{15}$より、$b=$15cm。倍率(ばいりつ)は$m=\dfrac{15}{30}=$0.5倍(ばい)で、レンズの反対(はんたい)側(がわ)15cmに、物体(ぶったい)の半分(はんぶん)の大(おお)きさの倒立(とうりつ)した実像(じつぞう)ができる。

例題(れいだい)2：同(おな)じレンズ（f＝10cm）の前方(ぜんぽう)5cmに物体(ぶったい)を置(お)いた。像(ぞう)の位置(いち)bと倍率(ばいりつ)を求(もと)めよ。$\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{10}-\dfrac{1}{5}=\dfrac{1}{10}-\dfrac{2}{10}=-\dfrac{1}{10}$より、$b=$−10cm。負(ふ)の値(あたい)なので、物体(ぶったい)と同(おな)じ側(がわ)10cmの位置(いち)に、倍率(ばいりつ)$\left|\dfrac{-10}{5}\right|=$2倍(ばい)に拡大(かくだい)された正立(せいりつ)の虚像(きょぞう)ができる。

例題(れいだい)1と例題(れいだい)2を比(くら)べると、同(おな)じレンズでも物体(ぶったい)を焦点(しょうてん)距離(きょり)（10cm）の外側(そとがわ)に置(お)くか内側(うちがわ)に置(お)くかで、できる像(ぞう)が倒立(とうりつ)した実像(じつぞう)か、拡大(かくだい)された正立(せいりつ)の虚像(きょぞう)かが変(か)わることがわかる。

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虫(むし)めがね（ルーペ）は、1枚(まい)の凸(とつ)レンズでできている。見(み)たい物(もの)を焦点(しょうてん)距離(きょり)より内側(うちがわ)に置(お)いて覗(のぞ)くと、レンズを通(とお)った光(ひかり)は実際(じっさい)には集(あつ)まらず、広(ひろ)がったまま目(め)に届(とど)く。目(め)はこの光(ひかり)を、集(あつ)まる方向(ほうこう)に逆(ぎゃく)にたどった先(さき)、つまり物体(ぶったい)と同(おな)じ側(がわ)のより遠(とお)い位置(いち)に像(ぞう)があるものとして感(かん)じる。

この虚像(きょぞう)は物体(ぶったい)より大(おお)きく、しかも向(む)きが変(か)わらない（正立(せいりつ)）ので、物体(ぶったい)を直接(ちょくせつ)見(み)るより大(おお)きく、見(み)やすく見(み)える。写像公式(しゃぞうこうしき)で物体(ぶったい)を焦点(しょうてん)距離(きょり)のすぐ内側(うちがわ)に置(お)くほど、できる虚像(きょぞう)の倍率(ばいりつ)が大(おお)きくなる関係(かんけい)だ。

眼鏡(めがね)の凸(とつ)レンズ（遠視(えんし)・老(ろう)視(し)用(よう)）も同(おな)じ仕組(しく)みで、近(ちか)くの物(もの)を大(おお)きく、見(み)やすい虚像(きょぞう)にして目(め)に届(とど)けている。反対(はんたい)に凹(おう)レンズは実像(じつぞう)も虚像(きょぞう)もできる位置(いち)が異(こと)なり、常(つね)に物体(ぶったい)より小(ちい)さい正立(せいりつ)の虚像(きょぞう)をつくる（近視(きんし)用(よう)の眼鏡(めがね)に利用(りよう)される）。

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