複素数(ふくそすう)平面(へいめん)と絶対値(ぜったいち)・共役(きょうやく)複素数(ふくそすう)

複素数(ふくそすう)$a+bi$を、座標(ざひょう)平面上(へいめんじょう)の点(てん)$(a,b)$として表(あらわ)そう。この平面(へいめん)を複素数(ふくそすう)平面(へいめん)といい、横(よこ)軸(じく)を実軸(じつじく)、縦(たて)軸(じく)を虚(きょ)軸(じく)という。

点(てん)$z=a+bi$と原点(げんてん)Oとの距離(きょり)を、zの絶対値(ぜったいち)といい$|z|$と書(か)く。三(さん)平方(へいほう)の定理(ていり)（新しいタブで開きます）から$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$になる。

$a+bi$に対(たい)して$a-bi$を共役(きょうやく)複素数(ふくそすう)といい、$\bar{z}$と書(か)く。点(てん)$\bar{z}$は点(てん)zと実軸(じつじく)について対称(たいしょう)な位置(いち)にある。

2つの複素数(ふくそすう)$z_1=a_1+b_1i$、$z_2=a_2+b_2i$の和(わ)$z_1+z_2$は、点(てん)$(a_1+a_2,b_1+b_2)$になる。実部(じつぶ)・虚部(きょぶ)をそれぞれ足(た)す計算(けいさん)と同(おな)じだ。

差(さ)$z_1-z_2$は点(てん)$z_2$から点(てん)$z_1$へ向(む)かう移動(いどう)を表(あらわ)し、実数(じっすう)k倍(ばい)$kz$は原点(げんてん)からの距離(きょり)を$|k|$倍(ばい)した点(てん)になる。

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例題(れいだい)：$z=3+4i$の絶対値(ぜったいち)と共役(きょうやく)複素数(ふくそすう)を求(もと)めよ。

絶対値(ぜったいち)は$|z|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$になる。

共役(きょうやく)複素数(ふくそすう)は実部(じつぶ)をそのまま、虚部(きょぶ)の符号(ふごう)を変(か)えて$\bar{z}=3-4i$だ。

複素数(ふくそすう)の和(わ)がなぜ点(てん)の移動(いどう)になるのか、ベクトルと同(おな)じ考(かんが)え方(かた)で確(たし)かめよう。

複素数(ふくそすう)$z=a+bi$は、原点(げんてん)から点(てん)$(a,b)$へ向(む)かうベクトルと同(おな)じ向(む)き・大(おお)きさを持(も)つと見(み)なせる。

$z_1+z_2$の実部(じつぶ)・虚部(きょぶ)がそれぞれの実部(じつぶ)・虚部(きょぶ)の和(わ)になるのは、ベクトルの成分(せいぶん)どうしを足(た)す計算(けいさん)とまったく同(おな)じだからだ。

差(さ)$z_1-z_2$も同(おな)じように、点(てん)$z_2$から点(てん)$z_1$へ向(む)かうベクトルと同(おな)じ図形(ずけい)的(てき)な意味(いみ)を持(も)つ。

実数(じっすう)k倍(ばい)で絶対値(ぜったいち)が$|k|$倍(ばい)になるのは、原点(げんてん)からの距離(きょり)をk倍(ばい)に伸(の)び縮(ちぢ)みさせる操作(そうさ)だからだ。kが負(ふ)なら原点(げんてん)を挟(はさ)んで反対(はんたい)側(がわ)に移(うつ)る。

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