複素数(ふくそすう)の極(きょく)形式(けいしき)と積(せき)・商(しょう)

複素数(ふくそすう)$z=a+bi$の絶対値(ぜったいち)を$r$、実軸(じつじく)の正(せい)の方向(ほうこう)から反(はん)時計(とけい)回(まわ)りに測(はか)った角(かく)を偏角(へんかく)$\theta$とすると、$a=r\cos\theta$、$b=r\sin\theta$になる。

これを使(つか)うと$z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$と表(あらわ)せる。この表(あらわ)し方(かた)を極(きょく)形式(けいしき)という。

2つの複素数(ふくそすう)$z_1=r_1(\cos\theta_1+i\sin\theta_1)$、$z_2=r_2(\cos\theta_2+i\sin\theta_2)$の積(せき)は$z_1z_2=r_1r_2\{\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2)\}$になる。

積(せき)$z_1z_2$は、点(てん)$z_1$を原点(げんてん)のまわりに$\theta_2$だけ回転(かいてん)し、原点(げんてん)からの距離(きょり)を$r_2$倍(ばい)した点(てん)になる。

商(しょう)は$\dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac{r_1}{r_2}\{\cos(\theta_1-\theta_2)+i\sin(\theta_1-\theta_2)\}$になる。$i=\cos90°+i\sin90°$なので、zにiをかけることは原点(げんてん)のまわりに90°回転(かいてん)させることと同(おな)じだ。

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例題(れいだい)：$z=1+i$を極(きょく)形式(けいしき)で表(あらわ)し、zを2倍(ばい)して90°回転(かいてん)した点(てん)の絶対値(ぜったいち)と偏角(へんかく)を求(もと)めよ。

zの絶対値(ぜったいち)は$|z|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$、偏角(へんかく)は45°なので、$z=\sqrt2(\cos45°+i\sin45°)$になる。

2倍(ばい)して90°回転(かいてん)するのは、絶対値(ぜったいち)2・偏角(へんかく)90°の複素数(ふくそすう)をかけることと同(おな)じだ。積(せき)の絶対値(ぜったいち)は$\sqrt2\times2=2\sqrt2$になる。

偏角(へんかく)は$45°+90°=135°$になる。

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積(せき)の絶対値(ぜったいち)が$r_1r_2$、偏角(へんかく)が$\theta_1+\theta_2$になる理由(りゆう)を、三角関数(さんかくかんすう)の加法(かほう)定理(ていり)（新しいタブで開きます）で確(たし)かめよう。

$z_1z_2=r_1r_2(\cos\theta_1+i\sin\theta_1)(\cos\theta_2+i\sin\theta_2)$を展開(てんかい)する。

実部(じつぶ)は$\cos\theta_1\cos\theta_2-\sin\theta_1\sin\theta_2$、虚部(きょぶ)は$\cos\theta_1\sin\theta_2+\sin\theta_1\cos\theta_2$になる。

加法(かほう)定理(ていり)より、これは$\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2)$に等(ひと)しい。だから積(せき)の絶対値(ぜったいち)は$r_1r_2$、偏角(へんかく)は$\theta_1+\theta_2$になる。

商(しょう)が絶対値(ぜったいち)$r_1/r_2$、偏角(へんかく)$\theta_1-\theta_2$になるのも、積(せき)の逆(ぎゃく)の操作(そうさ)として同(おな)じように確(たし)かめられる。