直線の方程式
ゾウ先生まず傾きmを求めてから式を作る、という中学の手順がそのまま使えることを確認しよう。
30秒でつかむ
- 1点(x₁,y₁)と傾きmが分かれば、直線の式はy−y₁＝m(x−x₁)で求まる。
- すべての直線はax＋by＋c＝0の形で表せ、2直線が平行ならm₁＝m₂、垂直ならm₁m₂＝−1になる。
- 点(x₀,y₀)と直線ax＋by＋c＝0の距離は、公式に代入して求められる。
詳しく
公式
中学では、一次関数の傾きと切片（新しいタブで開きます）から直線の式y＝mx＋nを求めてきた。ここでは、1点と傾きだけから式を作る方法と、縦の直線も表せる一般形へ考え方を広げる。
点(x₁,y₁)を通り傾きmの直線は、という式で表せる。
この式を整理するとax＋by＋c＝0の形になる。どんな直線もこの形で表せるので、これを直線の方程式の一般形という。b＝0のときは縦の直線x＝定数になり、傾きが定義できない場合もこの形なら表せる。
2直線の傾きをm₁、m₂とすると、平行なら、垂直ならになる。
点(x₀,y₀)と直線ax＋by＋c＝0の距離dは、で求まる。
例題
例題：2点(1,3)、(4,9)を通る直線の式を求めよ。
傾きはm＝(9−3)／(4−1)＝2。点(1,3)を使うとよりになる。一般形では2x−y＋1＝0。
この直線に平行で切片が−3の直線はy＝2x−3、垂直な直線の傾きは−1／2なのでy＝−(1／2)x＋4のような式になる。
例題：点(5,5)と直線3x＋4y−10＝0の距離を求めよ。公式のa、bにこれらの値を入れると、になる。
なぜそうなるか
点と傾きの式が成り立つ理由は、傾きの定義そのものだ。2点(x₁,y₁)と(x,y)を結ぶ傾きがmになる条件を式にするとになり、整理するとy−y₁＝m(x−x₁)になる。
一般形ax＋by＋c＝0がy＝mx＋nより広い理由は、b＝0の場合も表せるからだ。縦の直線x＝kはyがどんな値でも成り立つので、傾きという考え方では表せない。
2直線が垂直になる条件m₁m₂＝−1は、三平方の定理（新しいタブで開きます）から導ける。傾きは平行移動しても変わらないので、2直線を原点を通るように動かして考える。傾きm₁、m₂の2直線上に点(1,m₁)、(1,m₂)をとると、2直線が垂直なら、原点とこの2点を結んだ三角形は原点で直角になるので、が成り立つ。展開して整理するとになる。
確認問題
確認問題（解答用紙）
スマホやタブレットで読み取ると、この問題をその場で解けます。
https://manazoo.com/math/equation-of-a-line/?from=print#quiz
2点(2,1)、(5,7)を通る直線のy切片を求めよ。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：-3
傾きはm＝(7−1)／(5−2)＝2。y−1＝2(x−2)を整理するとy＝2x−3になり、y切片（新しいタブで開きます）は−3。直線y＝3x＋2に垂直な直線の傾きはどれか。
- ◯ −3
- ◯ 1/3
- ◯ −1/3
- ◯ 3
正解：−1/3
垂直な2直線の傾きの積は−1なので、3×m＝−1よりm＝−1／3。3は平行、1/3と−3は符号や逆数を間違えたもの。原点と直線6x＋8y−20＝0の距離を求めよ。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：2
公式に代入する（新しいタブで開きます）と、d＝|6×0＋8×0−20|／√(6²＋8²)＝20／10＝2。直線2x−3y＋6＝0の傾きはどれか。
- ◯ −2/3
- ◯ −3/2
- ◯ 3/2
- ◯ 2/3
正解：2/3
y＝(2x＋6)／3＝(2／3)x＋2と整理できるので、傾きは2／3。−2/3はaの符号を取り違えた間違い、3/2と−3/2はaとbを逆にした間違い。
単元のポイント
- 点と傾きで表す直線の式 y−y₁＝m(x−x₁)
- 2直線の平行・垂直の条件 平行はm₁＝m₂、垂直はm₁m₂＝−1
- 点と直線の距離の公式 |ax₀＋by₀＋c|を√(a²＋b²)で割る