2点間の距離と内分点・外分点
ゾウ先生内分点と外分点は別の公式ではなく、同じ式のnの符号だけが違うと気づくと覚えやすい。
30秒でつかむ
- 2点間の距離は、座標の差を使った三平方の定理（新しいタブで開きます）の式で求められる。
- 線分を比m:nに分ける点は、内分点（新しいタブで開きます）も外分点も同じ考え方で座標が求まる。
- 三角形の重心の座標は3頂点の平均、中線定理は座標の計算で証明できる。
詳しく
公式
中学では、数直線上の2点間の距離や、三平方の定理を使った座標平面上の2点間の距離を学んだ。ここでは、その距離や、線分を分ける点の座標を、公式として整理する。
2点A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)間の距離は、x座標の差Δx＝x₂−x₁とy座標の差Δy＝y₂−y₁を2辺とする直角三角形の斜辺（新しいタブで開きます）になる。三平方の定理から得られるが、2点間の距離の公式だ。
線分ABをm:nに分ける内分点Pの座標は、、で求まる。
線分の外側に分ける外分点Qは、同じ式のnを−nに変えて、になる。内分点と外分点は別々のものではなく、どちらも線分を比m:nに分ける点として同じ式で扱える。
例題
例題：2点A(1,2)、B(10,14)について、ABの長さと、ABを1：2に内分する点Pの座標を求めよ。
Δx＝9、Δy＝12なので、。
内分点Pはm＝1、n＝2を公式に代入して、になる。
例題：三角形の頂点A(1,2)、B(10,14)、C(4,2)の重心（新しいタブで開きます）Gの座標を求めよ。重心は3頂点の座標の平均なので、になる。
なぜそうなるか
なぜ中線定理が成り立つかを、座標を使って確かめよう。三角形の頂点を、辺BCの中点Mが原点に来るように置くと計算がらくになる。
三角形A(0,6)、B(−4,0)、C(4,0)で確かめると、M(0,0)でAM＝6、BM＝4。AB²＋AC²＝52＋52＝104、2(AM²＋BM²)＝2(36＋16)＝104で一致する。
一般の三角形でも、B(−a,0)、C(a,0)、A(p,q)と置けば、AB²＋AC²＝2(AM²＋BM²)が同じ計算で成り立つことを確かめられる。
確認問題
確認問題（解答用紙）
スマホやタブレットで読み取ると、この問題をその場で解けます。
https://manazoo.com/math/distance-and-section-points/?from=print#quiz
2点A(3,1)、B(7,4)間の距離を求めよ。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：5
Δx＝7−3＝4、Δy＝4−1＝3なので、AB＝√(4²＋3²)＝√25＝5。線分AB（A(2,5)、B(11,2)）を1：2に内分する点の座標はどれか。
- ◯ (5, 4)
- ◯ (6.5, 3.5)
- ◯ (8, 3)
- ◯ (4, 5)
正解：(5, 4)
m＝1、n＝2を内分点（新しいタブで開きます）の公式に代入する（新しいタブで開きます）と、x座標は(2×2＋1×11)／3＝5、y座標は(2×5＋1×2)／3＝4になる。(8,3)はmとnを逆にした間違い、(6.5,3.5)は比を考えずに中点を求めた間違い、(4,5)はx座標とy座標を入れ替えた間違い。三角形の頂点(0,0)、(6,0)、(3,9)の重心のx座標を求めよ。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：3
重心（新しいタブで開きます）のx座標は3頂点のx座標の平均なので、(0＋6＋3)／3＝3。三角形の頂点A(0,10)、B(−6,0)、C(6,0)で、AB²＋AC²はいくつになるか。
- ◯ 136
- ◯ 244
- ◯ 272
- ◯ 544
正解：272
BCの中点M(0,0)でAM＝10、BM＝6。中線定理よりAB²＋AC²＝2(AM²＋BM²)＝2(100＋36)＝272。直接計算してもAB²＝AC²＝6²＋10²＝136なので、136＋136＝272になる。136はAM²＋BM²で止めて2倍を忘れたもの、544は2倍を2回かけたもの、244はBMの代わりにBC＝12を使ってAM²＋BC²を計算したもの。
単元のポイント
- 2点間の距離の公式 AB＝√((x₂−x₁)²＋(y₂−y₁)²)
- 内分点・外分点の座標 線分を比m:nに分ける点の座標の公式
- 三角形の重心の座標 3頂点の座標の平均