指数(しすう)関数(かんすう)・対数(たいすう)関数(かんすう)の導関数(どうかんすう)

ゾウ先生eを底(てい)にすると微分(びぶん)がいちばん簡単(かんたん)になる、という性質(せいしつ)そのものがeという数(かず)を特別(とくべつ)にしているんだよ。

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lim(1＋1/n)ⁿ（nを限(かぎ)りなく大(おお)きくする）で定(さだ)まる数(かず)をeといい、約(やく)2.71828。
自然(しぜん)対数(たいすう)log x（＝logₑx）の導関数(どうかんすう)は1/x、eˣの導関数(どうかんすう)はeˣ自身(じしん)になる。
一般(いっぱん)のaˣの導関数(どうかんすう)はaˣ log a、logₐxの導関数(どうかんすう)は1/(x log a)になる。

詳しく

公式(こうしき)

数学(すうがく)Ⅲで初(はじ)めて、eという数(かず)を使(つか)う。eは、nを限(かぎ)りなく大(おお)きくしたときの(1＋1/n)ⁿの極限値(きょくげんち)（新しいタブで開きます）として定(さだ)まり、約(やく)2.71828…と続(つづ)く数(かず)（無理数(むりすう)）だ。eを底(てい)とする対数(たいすう)を自然(しぜん)対数(たいすう)といい、底e(ていイー)を省略(しょうりゃく)してlog xと書(か)く（logₑxと書(か)いてもよい）。

自然(しぜん)対数(たいすう)の導関数(どうかんすう)は定義(ていぎ)に従(したが)って求(もと)められ、 $\mathbf{(\log x)' = \frac{1}{x}}$ になる。 $e^x$ はlog xの逆(ぎゃく)関数(かんすう)なので、逆(ぎゃく)関数(かんすう)の導関数(どうかんすう)（新しいタブで開きます）の関係(かんけい)を使(つか)うと $\mathbf{(e^x)' = e^x}$ 、つまり $e^x$ を微分(びぶん)しても $e^x$ 自身(じしん)のままであることが分(わ)かる。

一般(いっぱん)の底a(ていエー)の指数(しすう)関数(かんすう)・対数(たいすう)関数(かんすう)は、 $a^x = e^{x\log a}$ 、 $\log_a x = \frac{\log x}{\log a}$ と書(か)きかえられるので、 $\mathbf{(a^x)' = a^x \log a}$ 、 $\mathbf{(\log_a x)' = \frac{1}{x \log a}}$ になる。

y＝eˣのグラフと、その逆関数y＝log xのグラフを並べ、x＝0でのeˣの接線の傾きが1（＝e⁰）であることを示した図 — eˣの導関数はeˣ自身Asatte Studio（Manazoo）／オリジナル（コードで作図）

例題(れいだい)

例題(れいだい)：y＝ $e^{2x}$ の導関数(どうかんすう)dy/dxを求(もと)め、x＝0でのdy/dxの値(あたい)を求(もと)めよ。

u＝2xとして合成(ごうせい)関数(かんすう)の公式(こうしき)を使(つか)うと、 $\mathbf{\frac{dy}{dx} = e^{2x} \times 2 = 2e^{2x}}$ 。x＝0ではe⁰＝1なので、dy/dx＝2×1＝2になる。

もう一(ひと)つ：f(x)＝log(3x)の導関数(どうかんすう)は、log(3x)＝log3＋log xと分(わ)けられ、log3は定数(ていすう)なので $\mathbf{f'(x) = \frac{1}{x}}$ 。x＝2ではf′(2)＝1/2になる。

なぜそうなるか

eが約(やく)2.71828になることは、nを大(おお)きくした(1＋1/n)ⁿの値(あたい)を実際(じっさい)に計算(けいさん)すると確(たし)かめられる。n＝10では約(やく)2.594、n＝100では約(やく)2.705、n＝1000では約(やく)2.717と、nを増(ふ)やすほど一定(いってい)の値(あたい)に近(ちか)づいていく。

この極限(きょくげん)は、1年間(ねんかん)の金利(きんり)が一定(いってい)でも、1か月(げつ)・1日(いちにち)・1分(いっぷん)…と限(かぎ)りなく細(こま)かい期間(きかん)に分(わ)けて利息(りそく)がつくとき、預(あず)けたお金(かね)が何倍(なんばい)になるかという場面(ばめん)と結(むす)び付(つ)けられる。細(こま)かく分(わ)けるほど増(ふ)え方(かた)はeに近(ちか)づいていく。

log xの導関数(どうかんすう)が1/xになることも、この極限(きょくげん)から導(みちび)ける。 $\frac{\log(x+h)-\log x}{h}$ を変形(へんけい)すると、 $\frac{1}{x}\log(1+h/x)^{x/h}$ の形(かたち)になり、hを0に近(ちか)づけるとh/xも0に近(ちか)づくので、 $(1+h/x)^{x/h}$ の部分(ぶぶん)がeに近(ちか)づき、log eの値(あたい)である1に近(ちか)づく。だから全体(ぜんたい)は1/xに近(ちか)づく。

nを10・100・1000と増やしたときの(1+1/n)のn乗の値が2.594・2.705・2.717と、eの近似値2.71828に近づいていく様子を表にした図 — nを大きくするほど(1＋1/n)ⁿはeに近づくAsatte Studio（Manazoo）／オリジナル（コードで作図）

確認問題

確認問題（解答用紙）

スマホやタブレットで読み取ると、この問題をその場で解けます。

https://manazoo.com/math/exponential-and-logarithmic-derivatives/?from=print#quiz

y＝ $e^{2x}$ の導関数(どうかんすう)dy/dxを求(もと)め、x＝0でのdy/dxの値(あたい)を求(もと)めよ。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：2
dy/dx＝ $2e^{2x}$ で、x＝0ではe⁰＝1なので、dy/dx＝2×1＝2。
f(x)＝log(3x)の導関数(どうかんすう)f′(x)を求(もと)め、f′(2)の値(あたい)を求(もと)めよ。分数(ぶんすう)の形(かたち)で、/（スラッシュ）を使(つか)って答(こた)えよう。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：1/2
log(3x)＝log3＋log xと分(わ)けられ、log3は定数(ていすう)なのでf′(x)＝1/x。f′(2)＝1/2。
f(x)＝ $2^x$ の導関数(どうかんすう)f′(x)を $(a^x)' = a^x \log a$ の公式(こうしき)で求(もと)めるとどれか。
- ◯　 $2^x$
- ◯　 $\frac{2^x}{\log 2}$
- ◯　 $x \cdot 2^{x-1}$
- ◯　 $2^x \log 2$
正解：$2^x \log 2$
$(a^x)' = a^x \log a$ にa＝2を当(あ)てはめると、f′(x)＝ $2^x \log 2$ になる。
nを限(かぎ)りなく大(おお)きくしたとき、(1＋1/n)ⁿの値(あたい)はどれに近(ちか)づくか。
- ◯　約(やく)2.71828（e）
- ◯　1
- ◯　2
- ◯　限(かぎ)りなく大(おお)きくなる
正解：約2.71828（e）
n＝10・100・1000と大(おお)きくするほど、(1＋1/n)ⁿは約(やく)2.594→2.705→2.717と、eという一定(いってい)の値(あたい)に近(ちか)づいていく。

単元のポイント

e（ネイピア数(すう)）　lim_{n→∞}(1＋1/n)ⁿ＝約(やく)2.71828
(log x)′　1/x
(eˣ)′　eˣ

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