接線と法線
ゾウ先生法線の傾きは接線の傾きの逆数にマイナスをつけるだけ。f′(a)の値さえ求まれば、接線も法線も同じ手順で書けるよ。
30秒でつかむ
- 曲線y＝f(x)上の点(a, f(a))での接線（新しいタブで開きます）はy−f(a)＝f′(a)(x−a)で求める。
- 接線に垂直で同じ点を通る直線を法線といい、傾き（新しいタブで開きます）は−1/f′(a)（f′(a)≠0）になる。
- f′(a)＝0のときは接線がy＝f(a)（横の直線）、法線がx＝a（縦の直線）になる。
詳しく
公式
数学Ⅱで学んだ接線の方程式（新しいタブで開きます）y−f(a)＝f′(a)(x−a)は、f(x)がどんな関数でも、微分係数f′(a)が求まれば同じ形で使える。
曲線上の点(a, f(a))を通り、接線と垂直に交わる直線を法線という。2直線が垂直のとき傾きの積が−1になることから、法線の方程式はになる（f′(a)≠0のとき）。
f′(a)＝0のとき、接線は横に引いたy＝f(a)になる。このとき垂直な法線は縦に引いた直線x＝aになる。
例題
例題：曲線y＝の点(0, 1)における接線と法線の方程式を求めよ。
f(0)＝e⁰＝1、f′(x)＝なのでf′(0)＝1。接線はy−1＝1(x−0)より。法線の傾きは−1/1＝−1なので、になる。
もう一つ：曲線y＝log xの点(1, 0)では、f′(x)＝1/xよりf′(1)＝1。接線はy＝x−1、法線の傾きは−1/1＝−1よりになる。
なぜそうなるか
傾きmの直線と傾きm′の直線が垂直に交わるとき、m×m′＝−1になる。接線の傾きがf′(a)なので、それに垂直な法線の傾きは、この関係から−1/f′(a)だ。
曲線y＝sin xの点(0, 0)で確かめると、f′(0)＝cos0＝1なので、接線はy＝x、法線は傾き−1のになる。三角関数でも指数関数でも対数関数でも、f′(a)の値を求めれば同じ手順で法線が書ける。
f′(a)＝0になる点（接線が横の直線になる点）では、−1/f′(a)の分母が0になり計算できない。このときは接線がy＝f(a)、法線がx＝aになることを別に覚えておく必要がある。
確認問題
確認問題（解答用紙）
スマホやタブレットで読み取ると、この問題をその場で解けます。
https://manazoo.com/math/tangent-and-normal-lines/?from=print#quiz
曲線y＝の点(0, 1)における法線の傾きを求めよ。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：-1
f′(0)＝e⁰＝1なので、法線の傾き（新しいタブで開きます）は−1/f′(0)＝−1/1＝−1。曲線y＝log xの点(1, 0)における法線の方程式はy＝−x＋kの形になる。kの値を求めよ。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：1
f′(1)＝1/1＝1なので、法線の傾きは−1。y−0＝−1(x−1)より、y＝−x＋1。k＝1。曲線y＝sin xの点(0, 0)における接線の方程式はどれか。
- ◯ y＝x
- ◯ y＝−x
- ◯ y＝1
- ◯ x＝0
正解：y＝x
f′(0)＝cos0＝1なので、接線（新しいタブで開きます）はy−0＝1(x−0)よりy＝x。曲線上の点(a, f(a))でf′(a)＝0のとき、法線の方程式はどれか。
- ◯ y＝0
- ◯ y＝−x＋a
- ◯ y＝f(a)
- ◯ x＝a
正解：x＝a
f′(a)＝0のとき接線はy＝f(a)（横の直線）になり、それに垂直な法線は縦の直線x＝aになる。
単元のポイント
- 接線の方程式（新しいタブで開きます） y−f(a)＝f′(a)(x−a)
- 法線 接線に垂直で同じ点を通る直線
- 法線の方程式 y−f(a)＝−(1/f′(a))(x−a)（f′(a)≠0）