最大・最小と微分の活用
ゾウ先生区間の両端は極値じゃないから見落としがち。候補を全部並べてから比べる癖をつけよう。
30秒でつかむ
- 区間に制限された関数の最大値・最小値は、区間内の極値と両端の値を比べて決める。
- 容積などを最大にする問題は、文字で変数をおいて関数にし、微分して極値を求める。
- y＝f(x)とy＝kのグラフの交点の数から、方程式f(x)＝kの実数（新しいタブで開きます）解の個数が分かる。
詳しく
公式
数学Ⅰでは二次関数の最大値（新しいタブで開きます）・最小値を頂点から求めた。区間が制限された関数では、区間の中にある極値の値と、区間の両端での関数の値を全部比べ、いちばん大きいものが最大値、いちばん小さいものが最小値になる。
区間の両端は極値ではないので見落としやすいが、区間を区切ったことで、端のところで値が最大・最小になることがある。候補をもれなく並べてから比べることが大切だ。
例題
例題：y＝x³−3x の0≤x≤2における最大値・最小値を求めよ。区間内の極値は、関数の増減と極値（新しいタブで開きます）で求めたx＝1での極小値−2。両端の値はf(0)＝0、f(2)＝2。3つを比べると、最大値は2（x＝2）、最小値は−2（x＝1）になる。
活用の例として、1辺12cmの正方形の厚紙の四隅から1辺x cmの正方形を切り取り、ふたのない箱を作る問題を考える。容積は（0＜x＜6）。展開してV′(x)を求めるとで、0＜x＜6の中ではx＝2だけが極値を与える。V(2)＝2×(12−4)²＝2×64＝128で、これが容積の最大値になる。
なぜそうなるか
極値と最大値・最小値は、グラフを横に切る直線を使っても調べられる。前のページで求めたy＝x³−3xの極大値2・極小値−2は、方程式x³−3x＝kの実数解の個数が変わる境目の値になっている。
y＝x³−3xのグラフとy＝kのグラフの交点の数が、方程式x³−3x＝kの実数解の個数と一致する。下の図のように、−2＜k＜2では交点が3個（実数解3個）、k＝±2では交点が2個（接するところが重なった解）、k＜−2またはk＞2では交点が1個（実数解1個）という具合だ。
確認問題
確認問題（解答用紙）
スマホやタブレットで読み取ると、この問題をその場で解けます。
https://manazoo.com/math/maximum-minimum-with-derivatives/?from=print#quiz
y＝x³−3x の−2≤x≤0における最大値を求めよ。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：2
区間内の極値はx＝−1での極大値f(−1)＝2。両端の値はf(−2)＝−2、f(0)＝0。比べると最大値は2（x＝−1）。1辺18cmの正方形の厚紙から、同じように四隅を1辺x cmの正方形で切り取ってふたのない箱を作るとき、容積を最大にするxの値を求めよ。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：3
容積はV(x)＝x(18−2x)²（0＜18−2xかつx＞0より0＜x＜9）。展開してV′(x)を求めると12(x−3)(x−9)になり、0＜x＜9の中で極値を与えるのはx＝3だけ。よって容積が最大になるのはx＝3のとき。方程式x³−3x＝1 の実数解は何個か。
- ◯ 0個
- ◯ 1個
- ◯ 2個
- ◯ 3個
正解：3個
y＝x³−3xの極大値は2、極小値は−2。k＝1は−2＜1＜2の範囲なので、y＝x³−3xとy＝1のグラフは3点で交わり、実数（新しいタブで開きます）解は3個。方程式x³−3x＝3 の実数解は何個か。
- ◯ 0個
- ◯ 1個
- ◯ 2個
- ◯ 3個
正解：1個
y＝x³−3xの極大値は2、極小値は−2。k＝3は極大値2より大きいので、y＝x³−3xとy＝3のグラフは1点でしか交わらず、実数解は1個。
単元のポイント
- 区間の最大値・最小値 極値の値と、区間の両端の値を比べて決める
- 容積の最大化 文字でおいた変数の関数を微分して極値を求める
- グラフと方程式の実数解 y＝f(x)とy＝kの交点の数が、方程式f(x)＝kの実数解の個数