二元一次方程式のグラフと交点
ゾウ先生連立方程式を解くことと、2本の直線の交点を求めることは同じことなんだ。
30秒でつかむ
- 二元一次方程式ax+by+c＝0は、yについて解くと一次関数の形になり、グラフは直線になる。
- 連立方程式の解は、2つの式をグラフにしたときの2直線の交点の座標と一致する。
- 2直線が平行（傾き（新しいタブで開きます）が同じで切片が違う）なら交点がなく、連立方程式の解もない。
詳しく
公式
二元一次方程式ax+by+c＝0（bが0でない）は、yについて解くとy＝−a/b×x−c/bの形になり、グラフは直線になる。
連立方程式の2つの式を、それぞれグラフにすると2本の直線になる。両方を同時に満たす点が交点であり、それが連立方程式の解になる。
2直線が平行（傾きが同じで切片がちがう）なら交点がなく、解はない。2直線が同じ直線なら交点が無数にあり、解も無数にある。
例題
例題：二元一次方程式x−2y+6＝0と、一次関数y＝−x+6のグラフの交点を求めよう。
x−2y+6＝0をyについて解くと、y＝1/2x+3。
1/2x+3＝−x+6を解くと、3/2x＝3でx＝2。y＝−2+6＝4。
交点の座標は(2, 4)。これが連立方程式の解にあたる。
なぜそうなるか
連立方程式を解くとは、2つの式を同時に満たすx、yの組を見つけること。グラフでは、2直線がどちらも通る点、つまり交点がその組にあたる。
加減法（新しいタブで開きます）や代入法（新しいタブで開きます）で求めた解と、グラフの交点の座標は必ず一致する。式で求めた答えを、グラフでも確かめられるということだ。
グラフを使うと、交点がない（平行）・交点が1つ・直線が重なって交点が無数、という解の個数のちがいを、見ただけで理解しやすくなる。
確認問題
確認問題（解答用紙）
スマホやタブレットで読み取ると、この問題をその場で解けます。
https://manazoo.com/math/linear-equations-and-graphs/?from=print#quiz
二元一次方程式x−2y+6＝0をyについて解くとどうなるか。
- ◯ y＝−1/2x+3
- ◯ y＝1/2x+3
- ◯ y＝1/2x−3
- ◯ y＝2x+6
正解：y＝1/2x+3
x−2y+6＝0から−2y＝−x−6、両辺を−2でわるとy＝1/2x+3になる。y＝1/2x+3とy＝−x+6のグラフの交点のx座標を求めよう。数字で答えよう。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：2
1/2x+3＝−x+6を整理すると3/2x＝3。両辺を3/2でわるとx＝2になる。上の交点のy座標を求めよう。数字で答えよう。
答え：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
正解：4
x＝2をy＝−x+6に代入すると、y＝−2+6＝4になる。2つの直線のグラフが平行で、切片が異なるとき、連立方程式の解はどうなるか。
- ◯ 解が2つある
- ◯ 解がない
- ◯ 解が無数にある
- ◯ 解がちょうど1つ
正解：解がない
平行な2直線は交わらない。交点がないので、連立方程式の解はない。連立方程式の解が座標平面上で表すものはどれか。
- ◯ y軸との交点
- ◯ 2つの直線の交点
- ◯ x軸との交点
- ◯ 2つの直線の傾きの和
正解：2つの直線の交点
2つの式をそれぞれグラフにすると直線になる。両方の式を同時に満たす点が、2つの直線の交点になる。
単元のポイント
- 二元一次方程式 x、yのような2つの文字を含む一次方程式。ax+by+c＝0の形
- 交点 2つの図形（ここでは2直線）が交わる点
- 連立方程式の解 2つの方程式を同時に満たすx、yの数値の組
- 平行 2直線が交わらずに同じ方向に並んでいること。傾きが等しいときに起こる
- 座標平面 x軸とy軸を使って、点の位置を表す平面